二次曲线的不同参数形式之间的分式线性变换关系的证明问题

creasson

任意一条二次曲线$F\left( x,y \right) = 0$,  总是可以表示为这样的参数形式：
\[x = \frac{{{u^2}{\alpha _1} + 2u{\beta _1} + {\gamma _1}}}{{{u^2}{\alpha _3} + 2u{\beta _3} + {\gamma _3}}},y = \frac{{{u^2}{\alpha _2} + 2u{\beta _2} + {\gamma _2}}}{{{u^2}{\alpha _3} + 2u{\beta _3} + {\gamma _3}}}\]
这种表示不是唯一的。例如椭圆$4x^2 + y^2 - 4x = 0$ 有以下两种参数表示：
\[x = \frac{1}{{1 + {u^2}}},y = \frac{{2u}}{{1 + {u^2}}}\]
\[x = \frac{{4{{(1 + v)}^2}}}{{5 + 6v + 5{v^2}}},y = \frac{{4( - 1 + v)(1 + v)}}{{5 + 6v + 5{v^2}}}\]
这些不同的表示之间，是存在分式线性变换关系的，即
如果
\[x = \frac{{{u^2}{\alpha _1} + 2u{\beta _1} + {\gamma _1}}}{{{u^2}{\alpha _3} + 2u{\beta _3} + {\gamma _3}}},y = \frac{{{u^2}{\alpha _2} + 2u{\beta _2} + {\gamma _2}}}{{{u^2}{\alpha _3} + 2u{\beta _3} + {\gamma _3}}}\]
和
\[x = \frac{{{v^2}{p_1} + 2v{q_1} + {r_1}}}{{{v^2}{p_3} + 2v{q_3} + {r_3}}},y = \frac{{{v^2}{p_2} + 2v{q_2} + {r_2}}}{{{v^2}{p_3} + 2v{q_3} + {r_3}}}\]
表示同一条二次曲线，那么参变量$u$和$v$一定有: $u = \frac{\lambda v + \mu }{\zeta v + \eta }$
例如，前面所给例子的$u$和$v$满足关系：$u = \frac{1 - v}{2(1 + v)}$ 或 $ u = \frac{ - 1 + v}{2\left( 1 + v \right)}$

可以通过联立方程
\[\frac{{{u^2}{\alpha _1} + 2u{\beta _1} + {\gamma _1}}}{{{u^2}{\alpha _3} + 2u{\beta _3} + {\gamma _3}}} = \frac{{{v^2}{p_1} + 2v{q_1} + {r_1}}}{{{v^2}{p_3} + 2v{q_3} + {r_3}}}\]
\[\frac{{{u^2}{\alpha _2} + 2u{\beta _2} + {\gamma _2}}}{{{u^2}{\alpha _3} + 2u{\beta _3} + {\gamma _3}}} = \frac{{{v^2}{p_2} + 2v{q_2} + {r_2}}}{{{v^2}{p_3} + 2v{q_3} + {r_3}}}\]
消元掉参数$v$，得到关于$u$的四次方程，因为解有无穷多个，所有系数为0，从而得到五个方程，解出并消元可完成证明。

但是这样的证明计算量太大，非常繁琐，我希望得到一个简单的内蕴证明。例如通过几何不变量、微分或是其他途径。

creasson

似乎转化为微分方程，应用单参数李变换群可以证明

hujunhua

试化成齐次式表述。
任意一条二次曲线$F\left( x,y,z \right) = 0$,  总是可以表示为这样的参数形式：
\[\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}α_1&β_1&γ_1\\α_2&β_2&γ_2\\α_3&β_3&γ_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u^2\\2uv\\v^2\end{pmatrix}=:M\begin{pmatrix}u^2\\2uv\\v^2\end{pmatrix}\]
这种表示不是唯一的。例如椭圆$4x^2 + y^2 - 4xz = 0$ 有以下两种参数表示：
\[\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u^2\\2uv\\v^2\end{pmatrix}\]
\[\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&4&4\\4&0&-4\\5&3&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u^2\\2uv\\v^2\end{pmatrix}\]
这些不同的表示之间，是存在分式线性变换关系的，即如果
\[\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=M_1\begin{pmatrix}u_1^2\\2u_1v_1\\v_1^2\end{pmatrix}
=M_2\begin{pmatrix}u_2^2\\2u_2v_2\\v_2^2\end{pmatrix}\tag{1}\]
那么两组参变量之间一定有:\[\begin{pmatrix}u_2\\v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\v_1\end{pmatrix} \tag{2}\]
例如，前面所给例子的$u$和$v$满足关系：\[\begin{pmatrix}u_2\\v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\v_1\end{pmatrix}\ \text{or}\ \begin{pmatrix}u_2\\v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\v_1\end{pmatrix} \]
可以通过解(1)的联立方程来得到(2),………………

hujunhua

怎么解是方法问题，但是关系(2)的存在性，在齐次表述下不是不证自明的吗？

只不过，关系的解不是唯一的。

hujunhua

记二次曲线`F(x_1,x_2,x_3)=0`的系数对称矩阵为`A`，记`x=(x_1,x_2,x_3),u=(u_1^2,2u_1u_2,u_2^2)`
如果`F(x_1,x_2,x_3)=0`可化为参数方程 `x=Mu`, 代入原一般方程即得恒等式 \[u^tM^tAMu≡0\tag{1}\]`u` 实际上在二次曲线 `x_2^2-4x_1x_3=0`上, 这个曲线的系数对称矩阵为\[\begin{pmatrix}0&0&-2\\0&1&0\\-2&0&0\end{pmatrix}=:B\]
不难验证有恒等式                               `u^tBu≡0`
与(1)比较系数可得                              `M^tAM=B`
可见分式参数方程不过是二次曲线 `A` 与参考的标准曲线 `B` 之间的一个射影对应。这种射影对应自然可以有无穷多。

creasson

hujunhua 发表于 2020-11-6 11:05
怎么解是方法问题，但是关系(2)的存在性，在齐次表述下不是不证自明的吗？

只不过，关系的解不是唯一的 ...

没明白为何由(1)到(2)是显然的。
本质是射影, 这点我是知道的，我的出发点也是用参数表示替代射影几何, 目前也已经验证了几乎所有二次曲线的射影结论。

hujunhua

参数方程\[x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\\m_{21}&m_{22}&m_{23}\\m_{31}&m_{32}&m_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1^2\\2u_1u_2\\u_2^2\end{pmatrix}=:MU\tag{1}\]
可以改写为张量形式\[
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=(u_1,u_2)T_{2×3×2}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}=:u^tTu\tag{2}
\]或者\[
x_j=(u_1,u_2)\begin{pmatrix}m_{j1}&m_{j2}\\m_{j2}&m_{j3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}=:u^tT_ju
\]或者完全按爱因斯坦求和约定写作 \[x_j=t_{ijk}u_iu_k
\]对于`F(x_1,x_2,x_3)=0`的两个不同的参数方程 `x=MU=M'U'`, 都写成张量形式后得  `x=u^tTu=u'^tT'u'`
假定存在一个线性变换`D_{2×2}`, 使得\[T=D^tT'D, u'=Du\]则\[T_j=D^tT'_jD\]

（waiting)