chyanog八切点定理

hujunhua

我们论坛的Mathematica大神@chyanog玩两个圆时，偶然发现一个漂亮的结论：

外离两圆的4条公切线的8个切点共一条双曲线。

由于5点决定一条二次曲线，所以关于共一条二次曲线，一般都是论6个点，如著名的帕斯卡六边形定理。

这下一股脑来了8个点，咋一看好牛逼呀。

不过仔细一看，非8个点不足以成题。因为轴对称的6个点恒过一条二次曲线，故要成题必须破6.


我没有仔细搜索文献，不能确认这个是不是首创。不管怎么样，咱先叫它chyanog八切点定理。

但我相信，我对这个结论的一个神出鬼没的证明也许是首创，配得上这个定理的漂亮。

hujunhua

chyanog在玩赏过程中还发现了下列命题：
圆外切四边形的相对顶点与4个切点共一条二次曲线。
如下图所示，即`A,C,T_1,T_2,T_3,T_4`共一条二次曲线（红线），以及`B,D,T_1,T_2,T_3,T_4`共一条二次曲线（蓝线）

这是上述八切点定理的退化情形。上述八切点定理做一个射影变换，两个圆可以换成两条一般二次曲线。
这里的 `A,C`两点可以看作一条退化的二次线素曲线`Γ`，它与圆的公切线即四边形的4条边，`Γ`上的4个切点重合为`A,C` 两点。
所以8个切点共一条二次曲线，在此即4个切点与两个相对顶点共一条二次曲线。

不过，用八切点定理来证明它的退化情形，虽然“显然”，却嫌颠倒。
退化情形当有更简单的证明，不用八切点定理。我们真的找到了。
如图，按布列安匈定理（帕期卡六边形定理的对偶定理），
在圆外切六边形`AT_1BT_2CD`中，连线`AT_2,CT_1,BD`共点，
在圆外切六边形`ABCT_3DT_4`中，连线`AT_3,CT_4,BD`共点，
所以线束`A-(T_1,T_2,T_3,T_4)`与线束`C-(T_2,T_1,T_4,T_3)`形成透视，
而线束`C-(T_2,T_1,T_4,T_3)`与线束`C-(T_1,T_2,T_3,T_4)`的交比相等，
故线束`A-(T_1,T_2,T_3,T_4)`与线束`C-(T_1,T_2,T_3,T_4)`的交比相等，
所以`A,C,T_1,T_2,T_3,T_4`共一条二次曲线.

可惜，退化图的上述经典射影证法对于非退化图似乎难以凑效。

chyanog

标题得改一下啦。发现新东西不容易呀，刚才搜了一下资料，原来别人早就发现过了 Poncelet’s porism: a long story of renewed discoveries, I 第67页


下载链接：https://pan.baidu.com/s/1wFFQ-Qjbjne-WTlvaSpMEg 提取码：math

顺便发现一个帖子也挺有意思 https://mathoverflow.net/questio ... blem-of-four-conics

mathe

根据链接，我们知道，对于任意三线不共点的四条直线{a,b,c,d},可以存在一个射影变换将它们映射为另外一组任意三线不共点的直线{a',b',c',d'}.
所以我们可以通过射影变换将两圆四条公切线映射为关于坐标轴对称的两组平行线，得到如下的图片，而对于这个图，证明8点共二次曲线还是比较简单的。因为8个切点关于坐标轴相互对称，只要证明其中第一象限中两个点满足某条二次曲线方程$u x^2+v y^2=1$即可