六边五奇一偶的完全四点形

hujunhua

5#的那两个部分“通解”可以变成下图中无3点共线的四点形ABDE和ACEF。
9#不过是k=1的特例。所以@wayne评为“决定性突破”，过誉了。俺不能冒功 。

由于a^2+ab+b^2与a^2-ab+b^2不可能同时为平方数，上图中的四点形BCDF、ADEF和CDEF都不可能满足要求，因为那条红色虚线边DF不行。

xiaoshuchong

1. 11#的结果可以做一个简单的推广，k可以为分数，并且分母为奇数，即$k=\frac{u}{2v+1}$,
然后所有边乘以$(2v+1)^2$，乘以奇数并不改变奇偶性。
新结果如下（有两个边相等，只给其余四个，借11#的图一用）\[\begin{eqnarray*}
AB&=&4u^{2}+u\left(8v+4\right)\\BE&=&u\left(8v+4\right)+4v^{2}+4v+1\\ED&=&4u^{2}-4v^{2}-4v-1\\BD&=&4u^{2}+u\left(4v+2\right)+4v^{2}+4v+1
\end{eqnarray*}\]
2. 对11楼的图做个简单的变换，可以得到一个非等腰梯形的四边形

用托勒密定理可以算出BH的长度，新结果如下\[\begin{eqnarray*}
AB&=&4u^{2}+u\left(8v+4\right)\\BG&=&u\left(8v+4\right)+4v^{2}+4v+1\\AH&=&4u^{2}-4v^{2}-4v-1\\AG&=&4u^{2}+u\left(4v+2\right)+4v^{2}+4v+1\\BH&=&\frac{BG\times\left(AH+AB\right)}{AG}
\end{eqnarray*}\]为了得到整数，所有边可以乘以AG(奇数)。

3. 考虑$\angle ABG=\theta$ (以上例子$\theta$为$\pi/3$,$\cos\theta=1/2$)
则我们可以得到两个二次不定方程\[\begin{eqnarray*}
AG^{2}&=&AB^{2}-2\cos\theta\cdot AB\cdot BG+BG^{2}\\&=&AH^{2}+2\cos\theta\cdot AH\cdot HG+HG^{2}
\end{eqnarray*}\]令$k=2\cos\theta$，且k为有理数，则我们可以得到\[\begin{eqnarray*}
AG&=&u^{2}+kuv+v^{2}\\BG&=&HG=2uv+kv^{2}\\AH&=&\left(1-k^{2}\right)v^{2}-2kuv-u^{2}\\AB&=&kBG+AH\\&=&v^{2}-u^{2}
\end{eqnarray*}\]令v为偶数，u为奇数即可满足原题要求。

4. 可以要圆内接四边形的面积也是有理数。
也就是不仅要求$\cos\theta$是有理数，还要求$\sin\theta$也是有理数
显然，这可以关联到勾股数上，即$\sin\theta=\frac{2mn}{m^{2}+n^{2}},\cos\theta=\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}$
那么四边形面积为\[\begin{eqnarray*}
S&=&\frac{mn}{m^{2}+n^{2}}\times BG\times\left(AB+AH\right)\\&=&-\frac{mnv\left(2m^{2}u+m^{2}v+2n^{2}u-n^{2}v\right)}{\left(m^{2}+n^{2}\right)^{4}}\times\\&&\left(2m^{4}u^{2}+2m^{4}uv-m^{4}v^{2}+4m^{2}n^{2}u^{2}-6m^{2}n^{2}v^{2}+2n^{4}u^{2}-2n^{4}uv-n^{4}v^{2}\right)
\end{eqnarray*}\]以$\cos\theta=\frac{3}{5}$为例，面积可以表示为\[
S = \frac{2v\left(10u+3v\right)\left(41v^{2}-30uv-50u^{2}\right)}{625}\]

hujunhua

xiaoshuchong 发表于 2022-4-10 21:30
1. 11#的结果可以做一个简单的推广，k可以为分数，并且分母为奇数，即$k=\frac{u}{2v+1}$,
然后所有边乘 ...

@xiaoshuchong通过有理化得到推广表达式，蛮见巧思，赞一个。
一般性的结果本坛已有, 借用一下11#的图\[\begin{eqnarray*}
AB&=&u^{2}+2uv\\
BE&=&2uv+v^2\\
ED&=&|u^2-v^2|\\
BD&=&u^2+uv+v^2\\
\end{eqnarray*}\text{GCD}(u,v)=1,3 \nmid u+v\]xiaoshuchong在此得到的是取 `u,v`一奇一偶的情况。还有一种情况是`u,v`双奇。

hujunhua

利用求方程的互质解4#的结论，以`91=7\*13`为圆的`60°，120°`所对弦，画了如下的图。
图中有很多满足要求的完全四点形，大多数6边都不等长。