不用弄成三次方程，如何判断这种根式的值是不是无理数

manthanein

定义\(f(a,b)=\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}\)，显然\(f(a,b)\)可能是无理数，也可能不是。
我看到的书上判断是不是无理数的方法主要是：（1）试算，看看能不能去根号。（2）化成三次方程，然后一个个试有理解。
有没有更好的办法？

lsr314

如果只是要一个判定方法的话，假设$t=f(a,b),a,b$都是正整数。从$t^9-6at^6+(27b-15a^2)t^3-8a^3=0$出发可以推出：
（1）如果$t$是有理数，那么$t$一定是整数，并且是偶数。
（2）$t|2a$,即$t/2|a$.
（3）$3|t-2a$.
（4）$a|t^9+27bt^3$.
（5）$b|(8 a - t^3) (a + t^3)^2$.
如果满足这几个条件的整数$t$不存在，那么$f(a,b)$就是无理数。
其实满足前面三个条件的$t$已经很有限了，可以直接代到方程$27bt^3=(8a-t^3) (a+t^3)^2$里去验算。

几个特例：
1、$a=1$.此时$t=2,b=0$,其他情况都是无理数。
2、$a=2^k,k>1$.此时$a=2^(3n-1),b=2^(6n-2),t=2^n$.其他情况都是无理数。
3、$a=p$是奇素数.此时$t=2$或$t=2p$
（1）如果$t=2$,那么$3|p-1,b=1/27 (p-1) (p+8)^2$.要求$p$是形如$3n^2+1$的素数。
（2）如果$t=2p$,那么$b=-1/27 (p-1) (p+1) (8 p^2+1)^2<0$.不符合$b>0$的前提。
如果允许$b<0$，那么$p$是Pell方程$p^2-3y^2=1$的解.前几个素数解是$p=2,7,97,708158977$.

mathe

设\(u=\sqrt[3]{a+\sqrt{b}},v=\sqrt[3]{a-\sqrt{b}},f(a,b)=u+v\)
于是\(u^3+v^3=2a, u^3v^3=a^2-b\)
如果$a,b,u+v$都是有理数，那么显然由\(2a=u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)\)
可以得出\(3uv=\frac{(u+v)^3-2a}{u+v} \)是有理数，所以要求
1. \(a^2-b\)是有理数的立方。
在条件1满足以后，在根据\(2a=(u+v)((u+v)^2-3\sqrt[3]{a^2-b})\)可以转化为$u+v$的三次方程，即可以判断这个三次方程是否有解即可
当然如果在a,b都是整数时，上面过程我们还可以取巧，就是上面过程可以直接判断出$u+v|2a$,直接依次检验$2a$的任意一个因子作为$u+v$是否满足条件即可

manthanein

那么知道是有理数后求值，有比我提到的两种方法更方便的吗

manthanein

\(t^9-6at^6+(27b-15a^2)t^3-8a^3=0\)也即\((t^3-2a)^3=27t^3(a^2-b)\)，令\(a^2-b=u^3\)，等式两边开三次根号得\(t^3-2a=3tu\)，也就是\(t^3-3ut-2a=0\)。
令\(\D t=x+\frac{u}{x}\)，得\(\D x^3+\frac{u^3}{x^3}=2a\)，下面就是开根号的事。
唯一的问题是不知道这个代换是不是总是有用。