四面体的四个面的内心、外心、重心，连接起来的四面体是正四面体吗？

mathematica · 发表于 2021-2-12 17:27:18

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四面体有四个面，每个面都有内心、外心、重心、垂心，
如果把四个面的内心都连接起来，构成的四面体，与原四面体有啥关系？
外心、重心、垂心呢？

lihpb01 · 发表于 2021-6-10 12:05:31

本帖最后由 lihpb01 于 2021-6-10 12:11 编辑

任意四面体各面内心连起来是什么关系不知道，但如果该四面体存在棱切球，存在棱切球的情况我写了两篇文章

https://blog.csdn.net/lihpb00/article/details/116350443
https://blog.csdn.net/lihpb00/article/details/115420658

任意四面体各面重心连起来的四面体与原四面体相似

至于外心可以参考文献：与单形外接球心有关的一个不等式

垂心连线的话，任意四面体的情况不知道。但是当该四面体为垂心四面体时，各面垂心连线即是各面垂足所组成的垂足四面体。《几何瑰宝》里面有研究过三角形的垂足圆，垂心四面体可以推广成垂足球

lihpb01 · 发表于 2021-6-10 12:06:41

本帖最后由 lihpb01 于 2021-6-10 18:19 编辑

各面内心、外心、垂心连线分别所构成的四面体体积小于等于原四面体的1/27，等号当且仅当四面体为正四面体时成立

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