凸四边形两个动点的连线经过定点

hbghlyj · 发表于 2021-3-2 22:53:08

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给定凸四边形ABCD, P,Q是形内的两个动点，满足∠APB =∠CPD =∠AQB=∠CQD.求证:直线PQ要么都经过一个定点,要么两两平行.

来源：罗马尼亚国家队选拔题2017

yigo · 发表于 2021-3-5 12:11:45

看图好像是这样的。

hbghlyj · 发表于 2021-3-5 17:33:48

yigo 发表于 2021-3-5 12:11
看图好像是这样的。

那个褐色的曲线是什么呢？

yigo · 发表于 2021-3-6 17:50:40

hbghlyj 发表于 2021-3-5 17:33
那个褐色的曲线是什么呢？

是角DCB与角ECF等角或互补的轨迹，其实还有一条轨迹，两个圆的圆心位置在BD或EF的另一侧时。

hujunhua · 发表于 2021-3-8 08:14:56

弓形APQB∽弓形CPQD，相似比=AB/CD。
两弓形相交弦所在直线过定点，应该与两弓形的某个旋转缩放变换中心有关。

hbghlyj · 发表于 2021-3-14 23:58:17

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-3-15 00:02 编辑

我把坐标算了一下.
定点的坐标(x,y)是下面的线性方程组的解:
$$\begin{cases}0=x\left(-y_A+y_B-y_C+y_D\right)+y\left(x_A-x_B+x_C-x_D\right)-x_Ay_B+x_By_A-x_Cy_D+y_Cx_D,\\
0=x\left(-x_A-x_B+x_C+x_D\right)+y\left(-y_A-y_B+y_C+y_D\right)+x_Ax_B-x_Cx_D+y_Ay_B-y_Cy_D
\end{cases}$$
它是无穷远点当且仅当AD=BC.

做了一个GeoGebra文件.见下面的附件:

凸四边形两个动点的连线经过定点.zip (23.43 KB, 下载次数: 0)
如何从几何上证明呢?

hbghlyj · 发表于 2021-3-16 18:24:12

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-3-16 18:31 编辑

在MSE上找到这道题了
AOPS上也有过

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