求助：高数中一个不等式的证明

mathabc

请各位大虾指教，下述不等式如何证明： $\int_0^{\pi/2}\sqrt(1+a*sin^2x)dx \ge \frac{\pi}{4}(1+\sqrt(1+a))$

wayne

这形式就是第二类椭圆积分啊

wayne

左边积分的几何意义为 短半轴b=1,长半轴等于$\sqrt{a+1}$的椭圆的周长的1/4

mathe

$(1+a*sin^2(x))(1+a*cos^2(x))>=(1+a)$ 得到 $sqrt(1+a*sin^2(x))+sqrt(1+a*cos^2(x))>=1+sqrt(1+a)$ 两边对x在区间$[0,pi/2]$积分,然后利用 $int_0^{pi/2}sqrt(1+a*sin^2(x))dx=int_0^{pi/2}sqrt(1+a*cos^2(x))dx$ 可得结果.

mathabc

$(1+a*sin^2(x))(1+a*cos^2(x))>=(1+a)$ 得到 $sqrt(1+a*sin^2(x))+sqrt(1+a*cos^2(x))>=1+sqrt(1+a)$ 两边对x在区间$[0,pi/2]$积分,然后利用 $int_0^{pi/2}sqrt(1+a*sin^2(x))dx=int_0^{pi/2}sqrt(1+a*cos^2(x) ... mathe 发表于 2009-9-19 11:57

佩服啊，佩服啊，不佩服都不行！！ 谢谢mathe的高见！

wayne

能给出积分的上限么,越小越好

zed

$sqrt(1+x)<=1+x/2$ 所以 $int_0^{pi/2}sqrt(1+asin^2x)dx<=int_0^{pi/2}(1+a/2sin^2x)dx=pi/2(1+a/4)$

wayne

7# zed 我看到有一个答案是 $\frac{\pi }{6}(1+2\sqrt{a+1})$ 不知道是怎么得到的

mathabc

7# zed 我看到有一个答案是 $\frac{\pi }{6}(1+2\sqrt{a+1})$ 不知道是怎么得到的 wayne 发表于 2009-9-20 00:08

用 mathe的方法，无需条件$b<7a$，就可得到上界$\frac{\pi}{4}\sqrt(2(a^2+b^2))$.

wayne

9# mathabc 在大范围的情况，b>7a或者bb，所以$\frac{\pi }{6}(a+2b)$最优。 或者说，最优的解是 ： $min{\frac{\pi }{6}(a+2b),\frac{\pi }{6}(2a+b)}$