求证四面体外接球半径平方大于等于棱切球半径平方的三倍

lihpb01

假设四面体满足三组对棱之和相等，即该四面体存在棱切球(与所有棱相切的球，并非内切球)。

设四面体的外接球和棱切球半径分别为R、l

怎么证明R²≥3l²

lihpb01

当且仅当该四面体为正四面体时，一楼不等式的等号才会成立

hejoseph

设四面体 $ABCD$ 中有棱切球，体积为 $V$，$AB=a$，$AC=b$，$AD=c$，$CD=a_1$，$BD=b_1$，$BC=c_1$，点 $A$ 到棱切球的切线长为 $w$，点 $B$ 到棱切球的切线长为 $x$，点 $C$ 到棱切球的切线长为 $y$，点 $D$ 到棱切球的切线长为 $z$，外接球半径为 $R$，棱切球半径为 $r$，那么 $a=w+x$，$a=w+y$，$c=w+z$，$a_1=y+z$，$b_1=x+z$，$c_1=x+y$，且有
\[
R=\frac{\sqrt{(aa_1+bb_1+cc_1)(-aa_1+bb_1+cc_1)(aa_1-bb_1+cc_1)(aa_1+bb_1-cc_1)}}{24V}，r=\frac{2wxyz}{3V}，
\]
就有
\[
R^2-3r^2=\frac{(wx+yz)(wy+xz)(wz+xy)(wx+wy+wz+xy+xz+yz)-48w^2x^2y^2z^2}{36V^2}
\]
由平均值不等式即可证明。