单位正方形总能够覆盖长为根号2的曲线段？

majer

命题：平面上任一可求长的曲线段，若曲线长度小于等于根号2，则存在一个单位正方形，可以把它“框”在里面。

结论应该成立吧。

或许证明很简单，但我没想出来，要是哪位朋友有直击要害的思路，烦请点拨一下。

mathe

我们可以改为证明长度为$2\sqrt{2}$的简单闭曲线，总是能够被单位正方形覆盖。
我们只证明曲线是凸的情况，对于凹的曲线，我们总可以将曲线的一部分外翻，得到一个范围更大的封闭曲线，所以只要证明变换以后的曲线可以被覆盖即可。

对于凸曲线，我们可以先任意规定曲线上一个方向，然后每个点处的有向切线会互不相同。设切线方向为$\theta$和切线方向为$\theta+\pi$的两条切线的距离为$d(\theta)$,于是d是一个周期为$\pi$的连续函数。于是查看函数$f(\theta)=d(\theta)-d(\theta+\frac{\pi}2)$,我们容易得出必然存在某个t使得$f(t)=0$,即$d(t)=d(t+\frac{\pi}2)$。由于曲线是凸的，我们得到方向为$t,t+\frac{\pi}2,t+\pi,t+\frac{3\pi}2$处的四条切线包含曲线，而且这四条切线构成边长为$u=d(t)$的正方形,设四个切点依次分正方形四边长为$a,u-a,b,u-b,c,u-c,d,u-d$
由于曲线长度不超过$2\sqrt{2}$，根据勾股定理得出$2\sqrt{2} \ ge \sqrt{a^2+(u-d)^2}+\sqrt{d^2+(u-c)^2}+\sqrt{c^2+(u-b)^2}+\sqrt{b^2+(u-a)^2} \ge \frac{\sqrt{2}}2 (a+u-d+d+u-c+c+u-b+b+u-a)=2\sqrt{2}u$
所以得出了$u\le 1$,也就是曲线被单位正方形覆盖。

lsr314

mathe 发表于 2021-3-17 13:14
我们可以改为证明长度为$2\sqrt{2}$的简单闭曲线，总是能够被单位正方形覆盖。
我们只证明曲线是凸的情况 ...

如果有折线呢，这时切线怎么定义

倪举鹏

其实长对角线是根号2，角为60，120，60，120度的菱形就可以覆盖

majer

哇，感谢。非常精彩。我知道要弄一个类似闭包的小正方形，但是没想到是把目标曲线扩大一倍再封闭……构成凸集边缘的曲线总是有类似左右导数一类的东西，这样一来，简单的凸闭曲线每一点可以定义一个切线。刚才我还想说，诸如圆弧+弦构成的闭曲线，或许会让论证出问题。就是两个圆弧与直线段衔接的尖点那里（用涂鸦板和上传图片都失败）。后来意识到，只要赋予尖点处的切线方向为一个合理范围，就可以统一讨论了。

wayne

直接计算 这个定长曲线 在两条相互垂直的方向上的投影的线积分的最大值, 是否有可行的操作.

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因为在直觉上,要想在一个直线方向上有最大的投影长度, [曲线的无限多个碎片都是趋向投影的方向] 曲线的整体是无限贴近 投影直线的方向.  同样的,  要能被 单位正方形"框"住,意味着 要能同时在两个方向上 无限逼近投影直线.
但因为 单位正方形只有一个自由度, 曲线要无限贴近这个框的 最长的那条内部直线的方向[也就是对角线] ,这个地方怎么操作逼近合适...

hujunhua

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