这道高中三角形题目如何做？

mathematica

△ABC面积等于根号5，
sin(A-B)=Sin(B)(3-4*Cos(A))

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*海伦公式*)
   
3. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
   
4. (*利用第一个正弦定理与余弦定理，简化第一个约束条件*)
   
5. aaa=TrigExpand[Sin[A-B]-(3-4*Cos[A])*Sin[B]]/.{Sin[A]->a,Sin[B]->b,Cos[A]->(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c),Cos[B]->(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)};
   
6. bbb=Together[aaa]//Numerator
   
7. (*得到目标函数*)
   
8. ff=c-x1*(bbb)-x2*(heron[a,b,c]^2-5);
   
9. (*求解所有可能的极值点,实数范围内*)
   
10. ccc=Solve[D[ff,{{a,b,c,x1,x2}}]==0,{a,b,c,x1,x2},Reals]//FullSimplify//ToRadicals;
    
11. Grid[ccc,Alignment->Left]
    
12. ddd=(ff/.ccc)//FullSimplify;
    
13. Grid[{ddd},Alignment->Left]
    
14. Maximize[{c,bbb==0&&heron[a,b,c]==Sqrt[5]&&a>=0&&b>=0&&c>=0},{a,b,c}]
    
15. Minimize[{c,bbb==0&&heron[a,b,c]==Sqrt[5]&&a>=0&&b>=0&&c>=0},{a,b,c}]//FullSimplify
    

复制代码

我只会拉格朗日乘子法求解
求解结果
\[-a^2+b^2-3 b c+2 c^2\]

\[\begin{array}{lllll}
a\to -2 \sqrt{\frac{7}{5}} & b\to -3 \sqrt{\frac{2}{5}} & c\to -\sqrt{10} & \text{x1}\to -\frac{1}{2 \sqrt{10}} & \text{x2}\to -\frac{1}{2 \sqrt{10}} \\
a\to -2 \sqrt{\frac{7}{5}} & b\to 3 \sqrt{\frac{2}{5}} & c\to \sqrt{10} & \text{x1}\to \frac{1}{2 \sqrt{10}} & \text{x2}\to \frac{1}{2 \sqrt{10}} \\
a\to 2 \sqrt{\frac{7}{5}} & b\to -3 \sqrt{\frac{2}{5}} & c\to -\sqrt{10} & \text{x1}\to -\frac{1}{2 \sqrt{10}} & \text{x2}\to -\frac{1}{2 \sqrt{10}} \\
a\to 2 \sqrt{\frac{7}{5}} & b\to 3 \sqrt{\frac{2}{5}} & c\to \sqrt{10} & \text{x1}\to \frac{1}{2 \sqrt{10}} & \text{x2}\to \frac{1}{2 \sqrt{10}} \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{llll}
-\sqrt{10} & \sqrt{10} & -\sqrt{10} & \sqrt{10} \\
\end{array}\]

\[\left\{\sqrt{10},\left\{a\to 2 \sqrt{\frac{7}{5}},b\to 3 \sqrt{\frac{2}{5}},c\to \sqrt{10}\right\}\right\}\]

mathe

已知条件可以用A表示ctgB.而c^2正比ctgA+ctgB,替换ctgB得到仅含A的表达式。使用万能公式表示为tg(A/2)的函数可得出tg(A/2)=1/sqrt(5)时取最小值

mathematica

mathe 发表于 2021-4-9 09:46
已知条件可以用A表示ctgB.而c^2正比ctgA+ctgB,替换ctgB得到仅含A的表达式。使用万能公式表示为tg(A/2)的函 ...

手写答案，拍张照片上来，那个3+4cosA，除不掉呀

mathematica

mathe 发表于 2021-4-9 09:46
已知条件可以用A表示ctgB.而c^2正比ctgA+ctgB,替换ctgB得到仅含A的表达式。使用万能公式表示为tg(A/2)的函 ...

按照你的思路。

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. t1=Tan[A/2];
   
3. t2=Tan[B/2];
   
4. rule={Sin[A]->2*t1/(1+t1^2),Cos[A]->(1-t1^2)/(1+t1^2),Sin[B]->2*t2/(1+t2^2),Cos[B]->(1-t2^2)/(1+t2^2)}
   
5. aaa=TrigExpand[Sin[A-B]-(3-4*Cos[A])*Sin[B]]/.rule//Simplify
   

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得到
\[2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \left(\cos \left(\frac{A}{2}\right) \cos (B)-3 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin (B)\right)=0\]
而h/tanA+h/tanB=c,=>(h/tanA+h/tanB)*c=c^2
且h*c=2*根号5
然后搞成关于tan（A/2）的函数

mathematica

mathematica 发表于 2021-4-9 11:17
按照你的思路。

得到

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. t1=Tan[A/2];
   
3. rule={Sin[A]->2*t1/(1+t1^2),Cos[A]->(1-t1^2)/(1+t1^2)}
   
4. aaa=TrigExpand[Sin[A-B]-(3-4*Cos[A])*Sin[B]]/.rule//Simplify
   

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用这个或许更好一些
\[2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right) \left(\cos (B)-3 \tan \left(\frac{A}{2}\right) \sin (B)\right)=0\]

mathematica

mathe 发表于 2021-4-9 09:46
已知条件可以用A表示ctgB.而c^2正比ctgA+ctgB,替换ctgB得到仅含A的表达式。使用万能公式表示为tg(A/2)的函 ...

我又换了一种思路

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*海伦公式*)
   
3. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
   
4. (*利用第一个正弦定理与余弦定理，简化第一个约束条件*)
   
5. aaa=TrigExpand[Sin[A-B]-(3-4*Cos[A])*Sin[B]]/.{Sin[A]->a,Sin[B]->b,Cos[A]->(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c),Cos[B]->(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)};
   
6. bbb=Together[aaa]//Numerator
   
7. (*海伦公式面积，第二个约数条件*)
   
8. ccc=heron[a,b,c]^2-5//FullSimplify
   
9. (*用c来表达出a b*)
   
10. Solve[bbb==0&&ccc==0,{a,b}]
    

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求解结果
\[\begin{array}{ll}
a\to -\frac{\sqrt{2} \sqrt{9 c^4+9 \sqrt{c^2 \left(c^4-100\right)} c-200}}{5 c} & b\to \frac{3 c^3-2 \sqrt{c^6-100 c^2}}{5 c^2} \\
a\to \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 c^4+9 \sqrt{c^2 \left(c^4-100\right)} c-200}}{5 c} & b\to \frac{3 c^3-2 \sqrt{c^6-100 c^2}}{5 c^2} \\
a\to -\frac{\sqrt{2} \sqrt{9 c^4-9 \sqrt{c^2 \left(c^4-100\right)} c-200}}{5 c} & b\to \frac{3 c^3+2 \sqrt{c^6-100 c^2}}{5 c^2} \\
a\to \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 c^4-9 \sqrt{c^2 \left(c^4-100\right)} c-200}}{5 c} & b\to \frac{3 c^3+2 \sqrt{c^6-100 c^2}}{5 c^2} \\
\end{array}\]

再使得a b都有意义，因此根式下的函数需要大于等于0，
求解的结果是
\[\text{Reduce}\left[9 c^4+9 \sqrt{c^2 \left(c^4-100\right)} c-200\geq 0,\{c\}\right]\]
\[\text{Reduce}\left[9 c^4-9 \sqrt{c^2 \left(c^4-100\right)} c-200\geq 0,\{c\}\right]\]
\[\text{Reduce}\left[c^6-100 c^2\geq 0,\{c\}\right]\]
求解结果
\[c\geq \sqrt{10}\]

mathematica

mathematica 发表于 2021-4-15 11:09
我又换了一种思路

没想到能直接解出方程组