一个简单递归整数列里有哪些项是自然数的平方？

majer

教孩子解Pell方程。

解是A002315，也就是\[a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}  \]
现在定义 \(b_n \)：

\[b_n=  \frac{a_n+1}{2} \]

经过计算，孩子问我， 出了\(b_1=1 \)和\(b_2=4 \)外，还有哪个n令\(b_n \)是某个整数的平方吗？

因为这个数列看着挺基本的，我原以为能解答出来，结果可耻地失败了……

mathe

由于$a_n$是$Z^2-2Y^2=-1$不定方程中的Z, 那么如果存在${a_n+1}/2$是完全平方数$X^2$,那么我们可以得出
$(2X^2-1)^2-2Y^2=-1$,或者$2X^4-2X^2+1=Y^2$,这是Jacobi Quartic curve,等价于椭圆曲线。于是可以转化为椭圆曲线的有理点问题。
https://mathoverflow.net/questio ... rtic-elliptic-curve

xiaoshuchong

mathe 发表于 2021-4-10 22:22
由于$a_n$是$Z^2-2Y^2=-1$不定方程中的Z, 那么如果存在${a_n+1}/2$是完全平方数$X^2$,那么我们可以得出
$( ...

对应的椭圆曲线是$y^2  = x^3 + x^2 -9x + 7$, 唯一的生成元是(-1,4)。
一般而言，二阶线性递归数列的平方数个数总是有限的，因为总可以对应到某条椭圆曲线的整点问题。