多项式逆求行列式的算法或者现成软件？

zeroieme

有很多漂亮的几何公式是以行列式形式出现的。
带变量的行列式进行符号计算，结果就是一条多项式。那么当面对一条多项式，能否判定它是否为一个行列式，乃至逆求出那个行列式呢？

mathematica

1*1的行列式

mathematica

滚！！！！！！！！！！！

mathe

\(\left|\begin{matrix}
x&1&0&0&\cdots&0&0\\
0&x&1&0&\cdots&0&0\\
0&0&x&1&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&0&\cdots&1&0\\
0&0&0&0&\cdots&x&1\\
(-1)^na_0&(-1)^{n-1}a_1&(-1)^{n-2}a_2&(-1)^{n-3}a_3&\cdots&-a_{n-1}&a_n
\end{matrix}\right|\)

zeroieme

mathe 发表于 2021-4-19 15:12
\(\left|\begin{matrix}
x&1&0&0&\cdots&0&0\\
0&x&1&0&\cdots&0&0\\

\(a d-b c=\left|\begin{matrix}a&b\\c&d\right|)\

到三阶以上就不会直接猜出来了。

mathematica

mathe 发表于 2021-4-19 15:12
\(\left|\begin{matrix}
x&1&0&0&\cdots&0&0\\
0&x&1&0&\cdots&0&0\\

你这个叫友矩阵吧，但是应该能更进一步简化。

多项式的友矩阵是怎么被想出来的？ - 知乎
https://www.zhihu.com/question/46414987/answer/101960439

zeroieme

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 54&fromuid=3965
结尾
$L^2$与$s^2$的系数是否为某个行列式？
@wayne

happysxyf

实对称矩阵,必可对角化,特征值必为实数.只要该多项式全是实数根,就可以等价逆行为实对称矩阵, 系数可以有多种方法求出, Rq迭代..多种方法都行.

1. 如果A是2阶矩阵, 特征多项式可以写为λ2;-tr(A)λ+det(A).
   
2. 如果A是3阶矩阵, 特征多项式可以写为λ3-tr(A)λ2+tr(A*)λ-det(A).
   
3. 如果A是4阶矩阵, 特征多项式可以写为λ⁴-tr(A)λ3+cλ2-tr(A*)λ+det(A), 其中c = (tr(A)2-tr(A2))/2.

复制代码

zeroieme

happysxyf 发表于 2021-5-11 02:17
实对称矩阵,必可对角化,特征值必为实数.只要该多项式全是实数根,就可以等价逆行为实对称矩阵, 系数可以有多 ...

这是一元变量的情形，多元的呢？
如二阶行列式结果a d-b c。

对称性，解析几何的行列式有变量上的美观对称性，但不是对角化的一元对称。