求证垂心四面体的一个不等式链

lihpb01

假设四面体ABCD为垂心四面体，H为垂心，I为内心，G为重心，O为外心。
H、I、G、O四点分别在四面体ABCD各面的垂足为
H₁、H₂、H₃、H₄，I₁、I₂、I₃、I₄，
G₁、G₂、G₃、G₄，O₁、O₂、O₃、O₄。

求证
四面体H₁H₂H₃H₄的体积小于等于四面体I₁I₂I₃I₄的体积，
四面体I₁I₂I₃I₄的体积小于等于四面体G₁G₂G₃G₄的体积，
四面体G₁G₂G₃G₄的体积小于等于四面体O₁O₂O₃O₄的体积。

上面不等式链的等号当且仅当四面体ABCD为正四面体时成立。

lihpb01

这个问题还有另一个变形猜想。

假设四面体ABCD存在棱切球，L为棱切球心，I为内心，G为重心，O为外心。
L、I、G、O四点分别在四面体ABCD各面的垂足为
L1、L2、L3、L4，I1、I2、I3、I4，
G1、G2、G3、G4，O1、O2、O3、O4。

求证
四面体L1L2L3L4的体积小于等于四面体I1I2I3I4的体积，
四面体I1I2I3I4的体积小于等于四面体G1G2G3G4的体积，
四面体G1G2G3G4的体积小于等于四面体O1O2O3O4的体积。

上面不等式链的等号当且仅当四面体ABCD为正四面体时成立。

hejoseph

很多问题你都是写求证，到底你自己证实过没有的呢？如果没有就建议写证明或否定，这样别人才不会因为猜想是错误的而去浪费时间证明。