大于3的奇数中,不能写成 \(2^n + p\) 的形式的奇数 p 的概率

uk702

@awei 同学在 http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2045979 帖子提出了一个命题，任何一个大于3的奇数,都可以写成 \(2^n + p\) 的形式, 其中n>0, p为奇素数。
经初步编程验证，似这不满足要求的奇数 i  的概率还不小，并似乎有增大的趋势：
5..10^6 时， 约 7.9%
5..10^7 时， 约 8.4%
5..10^8 时， 约 8.9%

现求当 n 充分大时，不满足要求的奇数 i 的概率，或者给出上、下界估计。

其中统计的代码如下：

1. using Primes
   
2. 
   
3. n=10^8; ct=0;
   
4. for i=5:2:n
   
5.     a = 2; find = false;
   
6.     while a < i
   
7.         if isprime(i-a) find = true; break end
   
8.         a = a*2;
   
9.     end
   
10. 
    
11.     if find == false ct=ct+1 end
    
12. end
    
13. println(2.0*ct/n)   
    

复制代码

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http://oeis.org/A006285

mathe

奇数n为素数的概率为$\frac{2}{\ln(n)}$
所以n充分大，满足条件概率大概为$\prod_{k=1}^{\log_2(n)} (1-\frac{2}{\ln(n-2^k)})\le (1-\frac{2}{\ln(n)})^{\log_2(n)} \to \exp(\frac{-2}{\ln(2)})$