求三角形周长的最小值

王守恩

已知矩形ABCD，AB=3，AD=4,
A,D是圆心，A圆半径=1，D圆半径=2
E是A圆上的点，F是D圆上的点，G是BC上的点
求三角形EFG周长的最小值。

aimisiyou

与两圆和直线均相切的圆上的三切点么？

王守恩

aimisiyou 发表于 2021-5-10 08:23
与两圆和直线均相切的圆上的三切点么？

E是A圆圆周上的点，F是D圆圆周上的点，G是直线BC上的点

aimisiyou

王守恩 发表于 2021-5-10 08:39
E是A圆圆周上的点，F是D圆圆周上的点，G是直线BC上的点

凭感觉盲猜一把。

yigo

aimisiyou 发表于 2021-5-10 08:47
凭感觉盲猜一把。

你这应该没猜对，首先假设圆上两点固定，那么矩形底边直线上的点应该是反射的最短路径的点，也就是把其中一个圆上的点对称到直线另一侧，连接这个点与另一个圆上的点得到的直线与矩形底边直线的交点为最小周长，然后再来调圆上的点，最短的时候应该满足每个圆的圆心与这个圆上的三角形定点 的连线是三角形的角平分线（椭圆与圆相切）

yigo

这个问题更普遍的推广应该是，任意三个圆上分别取三个点，构成的三角形，当周长最短/最长时，应满足每个圆心与对应的三角形定点的连线为三角形的角平分线，数值迭代应该比较容易求，解析解不知道能否解的出。类似的还可以求面积最大/最小值，圆心与顶点的连线是三角形的高。

wangzhaoyu2

设E点在圆A上，对应的点E的周长最小值三角形的三个顶点可以通过下面的方法确定，其中E’是E关于BC的对称点，E、E'为焦点的椭圆与圆D相切，确定F点，G点为E‘F与CB的交点。三角形的周长就是这个椭圆的2a.
具体怎么求，费劲了，弄了一个好复杂的方程，搞不下去了。

wangzhaoyu2

做了一个比上一次细致点的。

aimisiyou

wangzhaoyu2 发表于 2021-5-12 15:11
做了一个比上一次细致点的。

数值求解？为啥用EXCEL规划求解的值不一样

王守恩

yigo 发表于 2021-5-10 10:15
这个问题更普遍的推广应该是，任意三个圆上分别取三个点，构成的三角形，当周长最短/最长时，应满足每个圆 ...

数值解可以有，渴望出现解析解。

NMinimize\(\big[\ \sqrt{(x + y)^2 + z^2\ \ } + \sqrt{(x - y)^2 + z^2\ \ },\ \ z= 4 - \sqrt{1^2 - (3 - x)^2\ \ } - \sqrt{2^2 - (3 - y)^2\ \ }\ \  \big]\)
{6.1514507084766630171301488375264751651303045534155,
{x -> 2.3380079041880915876132585718135599526669149478370,
  y -> 2.0169806298966245330579401147841460863497729600953,
  z -> 1.5087449656540191643196459790456803963186375016019}}
其中：\(\sqrt{(x + y)^2 + z^2\ \ } + \sqrt{(x - y)^2 + z^2\ \ }=\sqrt{x^2 +(\frac{ x z}{x + y})^2\ \ }+ \sqrt{ y^2 + (\frac{y z}{x + y})^2\ \ }+ \sqrt{(x - y)^2+z^2\ \ }\)
因为,求三角形EFG周长的最小值恒有：∠BGE=∠CGF
当然，已知条件：1, 2, 3, 4 可以变化。

变化已知条件就可以有解析解吗？