如何证明线性空间V不能被其有限个真子空间覆盖？

惜缘判官

如题，如何证明线性空间V不能被其有限个真子空间覆盖？

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……这不是有手就能证？
算体积就够了
把线性空间距离原点小于1的所有点组成的球的n维体积算出来，这肯定是正的
每一个子空间与这个球相交的部分，体积都是0
有限个0怎么都不可能加成正数，于是证完。

开始我以为你想整n维空间的整点如何，觉得或许可以先试试高维pick公式，然后算体积
后来想明白了……连整点都不是，搞那么麻烦干什么……

kastin

维度的缺失通常需要无穷多个低维度的实例来弥补。这就好比偏微分方程可离散为空间点上的无穷多个关于时间的常微分方程，而不是有限个常微分方程。

mathe

结论不正确，有限域上的线性空间是不成立

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mathe 发表于 2021-5-21 17:30
结论不正确，有限域上的线性空间是不成立

……的确
有限域就算定义了距离，距离原点小于1的所有点也只有有限多个，于是我的证明不成立

直接默认欧式空间的确有点想当然了……

majer

数域定义在R上的话，就是北大代数与几何教研室出的《高等代数》课后习题。本来想搜一下答案，发现有个https://wenku.baidu.com/view/83784231b90d6c85ec3ac66c.html。按上面提的一笔，需要在元素数不可列的数域上讨论（数域的基是阿列夫1）。也不知道是必须这么强，还是单纯出于方便。

惜缘判官

感谢大家的分享！我应该把无限维这个条件加上的，现在这个问题我已经解决了。再次谢谢大家~