严格单调递增的函数在任何一个区间上都有不连续点

manthanein

假定函数\(y=f(x)\)的定义域为R，\(f(0)=0\)，且对于任意的\(a>b\)都有\(f(a)>f(b)\)。
问：这个函数能否在R的任意一个区间上都有不连续点？

majer

可以，而且构造是经典的

majer

因为全体有理数可列，我们用\( r_k \)表示它们，\( k \)取全体自然数。

定义函数

\[ f(x)=\sum _{r_k\lt x}\frac{1}{2^k} \]


注意，2上的指数是所有小于x的有理数的角标。显然，对任何x，等号右边都是无限级数，而且收敛。所以f定义的是合法的。

易知f严格单调。可以证明它在有理点间断，在非有理点连续。