第二差分矩阵求解为什么无法得出抛物线？

jiewenji

假设 K 是 9x9 的第二差分矩阵(2’s 在对角线，-1 在对角线的上方及下方)，求 解方程式 Kx = b = (10, ..., 10)。如果在 x 轴的点 1, ..., 9 的上方画出对应的点画 出 x1 , ...., x9 ，我想这 9 个点会是一个抛物线。

答案：For the −1, 2, −1 matrix K(9 by 9) and constant right side b = (10, · · · , 10), the solution x = K^-1 b = (45, 80, 105, 120, 125, 120, 105, 80, 45) rises and falls along the parabola x i = 50i − 5i 2 . (A formula for K −1 is later in the text.)

可是我无论是手算，还是用matlab计算结构都是一致的，都无法求出类似抛物线的结果。我的计算结果如下。请老师看看错在哪里了？

1. A=[1 -1 0 0 0 0 0 0 0;-1 2 -1 0 0 0 0 0 0;0 -1 2 -1 0 0 0 0 0;0 0 -1 2 -1 0 0 0 0;0 0 0 -1 2 -1 0 0 0;0 0 0 0 -1 2 -1 0 0;0 0 0 0 0 -1 2 -1 0;0 0 0 0 0 0 -1 2 -1;0 0 0 0 0 0 0 -1 2];
   
2. 
   
3. E=[10 10 10 10 10 10 10 10 10]
   
4. E=E'
   
5. F=A\E
   
6. 
   
7. F =
   
8. 
   
9.    450
   
10.    440
    
11.    420
    
12.    390
    
13.    350
    
14.    300
    
15.    240
    
16.    170
    
17.     90
    

复制代码

ShuXueZhenMiHu

我用我的软件得到同样的结果。

ShuXueZhenMiHu

注意你的A11位置错了。

ShuXueZhenMiHu

如果A11是1的话，我们得到同样的结果。

jiewenji

ShuXueZhenMiHu 发表于 2021-9-18 22:10
注意你的A11位置错了。

谢谢回复。的确A11位置错了。
我看的书前几章中给出一个3x3的第二差分矩阵。第一个元素是1。而不是2。请问所谓“第二差分矩阵”是否有严格的定义？比如第一个元素应该取什么值。在度娘上搜了一圈没有结果。

我第一次看到书上3x3的第二差分矩阵的例子，觉得很奇怪。为什么对角线上只有第一个元素不是2。后来想是不是如此定义。既对角线上元素等于其（上方元素+左边元素）*-1 。因为对角线第一个元素没有上方元素+左边元素。所以被定义为1.

jiewenji

ShuXueZhenMiHu 发表于 2021-9-18 22:08
我用我的软件得到同样的结果。

我在网上看到的Excel求解线性方程组的方法都是先用Excel求到逆矩阵，然后在用逆矩阵右乘右侧向量，得到未知数向量。看你的截图好像没有逆矩阵，一步求出了解。请问你用的是什么函数？

ShuXueZhenMiHu

jiewenji 发表于 2021-9-19 15:45
我在网上看到的Excel求解线性方程组的方法都是先用Excel求到逆矩阵，然后在用逆矩阵右乘右侧向量，得到未 ...

我自己写的方法。用的是高斯消元法。可以得出解的情况以及解。