三联椭圆

大漠孤烟

椭圆E(A,B;C)定义为以点A和点B为焦点、过点C的椭圆。  
如图，三联椭圆E(A,B;C)、E(B,C;A)和E(C,A;B)两两有公共弦DE、FG、HI，试证明：
(1) 直线DE、FG、HI交于一点 J，且 J 为△ABC的朗香点(de Longchamps Point)，即垂心关于外心的对称点.
(2) 直线DE、FG、HI分别穿过△ABC的旁心K、M、L.

hujunhua

三联椭圆，构思不错。
发现三联抛物线、三联双曲线也有类似的性质。
Para(AB,C)定义为以连线AB为准线、以点C为焦点的抛物线。
如图，三联抛物线Para(AB,C)、Para(BC,A) 和 Para(CA,B)两两的公切线相交于△ABC的内心和旁心。

hujunhua

双曲线Hy(A,B;C)定义为以点A和点B为焦点、过点C的双曲线。  
如图，给定三点形ABC, 试证明：
(1)Hy(A,B;C)、Hy(B,C;A)和Hy(C,A;B)有一条公共弦JK，并且穿过△ABC的内心M。
(2)Hy(A,B;C)、Hy(B,C;A)和Hy(C,A;B)不同于JK的两两的公共弦DE、FG、HI相交于一点L，并且重心N是ML的一个三等分点。

大漠孤烟

hujunhua 发表于 2021-9-26 14:00
双曲线Hy(A,B;C)定义为以点A和点B为焦点、过点C的双曲线。  
如图，给定三点形ABC, 试证明：
(1)Hy(A,B;C ...

是的，K、J、L 分别是三角形 ABC 的内索迪中心、外索迪中心、纳格尔点。这个相对好证明一点。

hujunhua

三联双曲线有两个实的公共点J,K，三联椭圆是不是应该有两个虚的公共点？

hujunhua

两条外离的二次曲线有四条公切线，包括两条外公切线，两条内公共线。
抛物线总是与无穷远线相切的，故而无穷远线是三联抛物线的外公切线。
三联抛物线有一个定性性质：它们总是相互外离的，或者最多只是外切。
所以除去无穷远线，三联抛物线两两还有一条外公切线，两条内公切线。
（四句好整齐呀，还绝对押韵）
3#说的是其中三条外公切线构成△ABC的旁心三角形，过点A、B、C的三条内公切线为此旁心三角形的角平分线。

剩下的三条内公切线是△ABC三边的中垂线。因为抛物线焦点与准线上任一点连线的中垂线都是抛物线的切线。

三联抛物线这三组公切线的性质不难由抛物线的焦准定义通过平几方法来证明。