求过四个点的椭圆离心率的最小值

lsr314

已知平面上四个点ABCD构成凸四边形，那么存在无穷多个椭圆过这四个点，问其中离心率最小的椭圆何时取得，可以通过尺规作图作出这个椭圆上异于ABCD的另一个点吗？
显然，如果四个点共圆，那么最小的离心率是0。

mathe

https://bbs.emath.ac.cn/thread-16933-1-1.html

mathe

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 8975&fromuid=20

mathe

这个楼层竟然已经有答案了
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 9002&fromuid=20

creasson

凸四边形ABCD的外接圆锥曲线，其离心率$e$最小时:
\[ \frac{e^4}{1 - e^2} = \frac{{{\sin }^2}(A + C)}{\sin A\sin B\sin C\sin D} \]

又设
\[\mathop {BA}\limits^ \to   = (s + it)\mathop {BC}\limits^ \to  , \quad \mathop {BD}\limits^ \to   = (m + in)\mathop {BC}\limits^ \to  \]

$e$最小时对应椭圆上的点$P$可表示为:
\[\mathop {BP}\limits^ \to   = \frac{(1 - u)(s + it - qu)}{1 - u + pu - qu + q{u^2}}\mathop {BC}\limits^ \to  \]

其中
\[ p = \frac{{(n - ns - t + mt)({n^2}s - 2{n^2}{s^2} + {n^2}{s^3} - mnt - {m^2}nt - {n^3}t + 2mnst + {m^2}nst + {n^3}st - mn{s^2}t + {m^2}{t^2} - {m^3}{t^2} + {n^2}{t^2} - m{n^2}{t^2} + {n^2}s{t^2} - mn{t^3})}}
                                      {{n({n^2}s - {n^2}{s^2} - mnt - {m^2}nt - {n^3}t - nst + 4mnst - n{s^2}t + m{t^2} - {m^2}{t^2} + 2{n^2}{t^2} - n{t^3})}} \]
\[ q = \frac{{(ns - mt)({n^2}{s^2} - {n^2}{s^3} - nst + 2mnst - {m^2}nst - {n^3}st - n{s^2}t + mn{s^2}t + m{t^2} - 2{m^2}{t^2} + {m^3}{t^2} + {n^2}{t^2} + m{n^2}{t^2} - {n^2}s{t^2} - n{t^3} + mn{t^3})}}
                                      {{n({n^2}s - {n^2}{s^2} - mnt - {m^2}nt - {n^3}t - nst + 4mnst - n{s^2}t + m{t^2} - {m^2}{t^2} + 2{n^2}{t^2} - n{t^3})}} \]

lsr314

creasson 发表于 2021-9-27 10:19
凸四边形ABCD的外接圆锥曲线，其离心率$e$最小时:
\[ \frac{e^4}{1 - e^2} = \frac{{{\sin }^2}(A + C)}{\ ...

第一个公式很简洁

大漠孤烟

凸四边形有一个九点二次曲线，所有外接二次曲线的中心均在该曲线上。外接椭圆离心率最小时，椭圆与九点二次曲线的主轴方向、（虚）渐近线方向平行，椭圆的中心与外接等轴双曲线中心关于九点二次曲线中心对称。

hujunhua

过这样的四个定点的一条二次曲线上任一动点与这四点所连线束的交比为一个定值。
利用这一性质可以给出二次曲线的四基点定义：到四个基点所连线束交比为给定常数的动点轨迹。

虽然这个定义是隶属于射影几何的，但也不妨以之与度量几何挂钩，也就是给定交比后，曲线确定故而离心率确定，
可见交比λ与离心率e具有函数关系，那么函数e(λ)是什么样子的呢？
当e取极值时，λ的驻点值是什么？

过四基点一般有两条抛物线，即由e(λ)=1可解出两个不同的 λ，这是否暗示 e(λ)是一个2次多项式？

大漠孤烟

交比是线束斜率的非调和比，算下来二次曲线方程的系数是交比的一次式，再用二次项系数表示离心率就比较复杂了