x取\(2^{ k}\) 和 \(-2^{k}\) 的概率为\(2^{ -k}\) , 期望值是多少？

jiewenji

x取\(2^{ k}\) 和 \(-2^{k}\) 的概率为\(2^{ -k}\)  , .k=2，3，…………，E(x)等于多少？

请看下图哪个求解过程正确

majer

下面的对，本质上是勒贝格积分。平时用黎曼积分是因为未出现无限-无限之类的不定型的时候，两种积分结果相等。

可能有人觉得第一种算法也不是黎曼积分啊。勒贝格本人曾经描述过两种积分的精髓：

一个人数口袋里的钞票，基本上有两种方法。其一是逐张取出，一张张加，10+50+10+5+100+100+……这样就是黎曼式的；另一种则是先把等值的钞票归到一组，看每组里有几张，然后乘面值，2*10+1*5+1*50+2*100……这就是勒贝格积分。

平均，积分，概率，面积，测度，期望，几个概念都是一体。柯尔莫哥洛夫定义概率测度的时候，用的是勒贝格积分（一般教科书是先定义测度再定义相应的积分，但也可以把测度当做对应积分构造出的泛函）。所以遵循基本定义按部就班的求期望（积分），都应该是先把等值的点归到一组。具体到这里，就是先把概率=0.5的点归到一起，构成一项。以此类推再求和。

mathe

第二个是错误的，这个题目和积分没有关系，是离散型的。
由于数列求和不收敛，说明极限不存在

jiewenji

mathe 发表于 2022-3-4 10:20
第二个是错误的，这个题目和积分没有关系，是离散型的。
由于数列求和不收敛，说明极限不存在

谢谢你的回复。我也觉得第二个错了。但是如果从数学运算规则上来说他哪一步错了？违反了哪个数学规则。从他列出等式第一步时，似乎看不出存在数列求和不收敛的问题？

majer

因为犯了错误，就稍微详细写写。关于期望和勒贝格积分关系应该是没有问题的。如

百科词条 离散测度

https://baike.baidu.com/item/%E7 ... 18935353?fr=aladdin

数学上，测度（Measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上——如可列集——就发展出测度的概念。离散测度的积分形式上与无穷级数一致。

为了稳妥，又查了下施利亚耶夫的，发现说法是，所有概率上的数学期望都是对非负随机变量的勒贝格积分。然后突然意识到，那可取负的随机变量怎么办？

就是这里确实想错了。基本定义依托于勒贝格积分，但勒贝格积分只对非负的函数才有我最开始回复的那种先分组在求和的手段。

对于可取正负值的函数，处理方法是把负号提出去，随机变量大于0和小于0的时候分别积分，相当于两个正随机变量分别积分得A和B，再做差。

然后，对楼主最开始问题的标准答案来了：当 min{A，B}有限的时候，称该随机变量的数学期望存在。也就是说A和B至少有一个是要有限的。当两个部分都不收敛于有限的值，那确实期望不存在。

jiewenji

majer 发表于 2022-3-4 12:22
因为犯了错误，就稍微详细写写。关于期望和勒贝格积分关系应该是没有问题的。如

百科词条 离散测度

感觉对于我来说已经超纲了。但还是好奇，忍不住请教。
“ 对于可取正负值的函数，处理方法是把负号提出去，随机变量大于0和小于0的时候分别积分，相当于两个正随机变量分别积分得A和B，再做差。”——-这个规定的理由容易用比较简单的方式解释么？

majer

jiewenji 发表于 2022-3-4 12:44
感觉对于我来说已经超纲了。但还是好奇，忍不住请教。
“ 对于可取正负值的函数，处理方法是把负号提出 ...

一个抽象测度f把集合映射到实数上，赋予所讨论全集里的每个子集一个值。我们希望这个值能反映集合的某些特征和关系。如只要A真包含于B，就有f（A）＜f（B）。外加其它的想要的属性，导致满足条件的f的值域是不会变号的。为了方便我们就只考虑它非负。所以从根上如此构造f，再以f为基础构造其它更复杂结构，此时复杂结构所处理的对象，或者说变元就不是朴素的集合，而是集合的运算，如函数或俩集合的笛卡尔积（它本质上还是一个集合）。发现为了让f 的优良属性能被更大的结构所继承，就只能把被它作用的函数，分成正负两段处理。这里概率是测度，期望是建立在概率上的更复杂结构，而随机变量（函数）是被期望所作用的变元。

jiewenji

majer 发表于 2022-3-4 17:43
一个抽象测度f把集合映射到实数上，赋予所讨论全集里的每个子集一个值。我们希望这个值能反映集合的某些 ...

谢谢指教，先收藏了

wayne

概率和也不为1. 错题一个.