\(R^{n}\) 到 \(R^{m}\)的基变换过程中 对应矩阵到底是如何发生作用的？

jiewenji

\(R^{n}\) 到  \(R^{m}\)的基变换过程中 对应矩阵到底是如何发生作用的？

请看下图，绿色下划线部分的结论我是理解的。但是从到色下划线到蓝色下划线的推导我就不容易接受了。因为矩阵A明明是\(R^{n}\) 到  \(R^{m}\) 基变换对应的矩阵，他怎么能在恒同变换(\(R^{n}\) 到  \(R^{n}\)的变换。注意蓝色下划线部分等号左右两边都是\(e_{j}\)，都是(\(R^{n}\)中的基底)过程中发生作用呢？

考虑到有可能这里写错了，等号右边应该是\(\tilde{e}_{j}\) ,那也应该用A的第j列去乘\(\tilde{e}_{j}\)  ，而不是用A矩阵本身去乘\(\tilde{e}_{j}\)。

所以蓝色下划线部分的等式正确的写法应该是什么呢？