斐波那契数列的其它通项公式

博博66

an=
         
         [(n/2)-1]*[（-1）^n+1]/2+[(n-1)/2]*[(-1)^(n-1)+1]/2
          ∑                                                                 (n-i-1)!/i!*(n-2*i-1)!   
          i=0                                                                                   

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这个纯粹是本人自己推导的公式，定有许多不足之处，希望各位大佬多多指点。

博博66

原理是不尽相异元素的可重排列。

王守恩

1,博主。\(\D\sum_{i=0}^{(\frac{n}{2}-1)(\frac{(-1)^n+1}{2})+(\frac{n-1}{2})(\frac{(-1)^{n-1}+1}{2})}\frac{(n-i-1)!}{i!(n-2i-1)!}\)
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765}

2,修正。\(\D\sum_{i=0}^{(\frac{n-1}{2})}\frac{(n-i-1)!}{i!(n-2i-1)!}\)
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765}

3,再修正。\(\D\sum_{i=0}^{(\frac{n}{2})}\frac{(n-i)!}{i!(n-2i)!}\)
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765}

可参考《整数序列在线百科全书(OEIS)》A000045

博博66

王守恩 发表于 2022-4-29 12:50
1,博主。\(\D\sum_{i=0}^{(\frac{n}{2}-1)(\frac{(-1)^n+1}{2})+(\frac{n-1}{2})(\frac{(-1)^{n-1}+1}{2})} ...

首先谢谢大佬的修正
其次我想知道这个公式和现有的公认的公式
  an=（1/(5^0.5)）{[(1+5^0.5)/2]^n-[(1-5^0.5)/2]^n}
它们的区别和实用性。
我个人认为现有的公式并不能很快算出具体的值（二项式定理展开之后还是很难算，也可能是我能力不够）
当然对于电脑来说显然现有公式比较好写代码。
  

博博66

感觉还是我的公式（大佬修正之后的）比较简洁（有点自恋）

博博66

假设有n阶楼梯，每次上一阶或者两阶。问有多少种上法？
答案就是王守恩的修正3，
实际意义：假设上n阶楼梯的上法是f（n），则有f（n-2）+f（n-1）=f（n），满足斐波那契数列的定义。
具体推导过程：记“一次上两阶”为a，则a之多为[n/2]次(中括号为取整函数)，记“一次上一阶”为b，则上楼的整个过程由i个a和（n-2i）个b组成，
重集{i*a，（n-2i）*b}的全排列为
      n/2
       ∑     （n-i)!/i!(n-2i)!
      i=0
（这里想问一下∑的上限自带取整函数吗？当时我并不知道就把上限修改成判断奇偶的形式了。）