Σn！的素因子可以无限大吗

majer

（改）令\(f(n)=1+2!+3!+\cdots+n!\)，求证，存在\(N\),使有一个素数\(P|f(N)\),\(P＞10^{2012}\)。来源是2012年的全俄数学竞赛，11年级第二天第四题。

mathe

这个题目的说法是不正确的，应该是翻译问题。
按题目的说法是对于任意给定的充分大的P都存在满足条件的N,但是这个结论是错误的。

majer

换一个说法，存在\(N\)，使\(f(N)\)有个大于\(10^{2012}\)的素因子

mathe

假设所有的f(N)有最大的素因子，假设它们都只使用了有限个素数，$p_1\lt p_2\lt ...\lt p_k$
于是我们可以假设$f(N)=p_1^{a_{1,N}}p_2^{a_{2,N}}\cdots p_k^{a_{k,N}}$
下面仅考虑$N>p_k$的情况,
  设$N! =p_1^{b_{1,N}}p_2^{b_{2,N}}\cdots p_k^{b_{k,N}} Q_N$, 其中$Q_N$不含素因子$p_1,p_2,..,p_k$
需要注意$b_{i,N}\gt 0$, 所以如果$a_{i,N}=0$,那么我们容易得出$a_{i,N+1}=0$。也就是说对于$N>p_k$的情况，$f(N)$使用的不同素因子数目是不增的。
另外如果有$b_{i,N} \gt a_{i,N-1}$,
而由于所有的$b_{i,N}$关于N是严格不减的，
我们容易得出$a_{i,N}=a_{i,N-1} \lt b_{i,N} \le b_{i,N+1}$.
所以我们知道满足$a_{i,N-1} \ge b_{i,N}$的i的数目也是严格不增的。
但是由于$f(N)\gt N!$, 所以对于所有的N,必须存在部分$a_{i,N} \gt b_{i,N}$. 所以对于充分大的N, 满足$a_{i,N-1} \ge b_{i,N}$的i的集合必然固定不变，假设这个i的集合为I.

另外:
  如果$a_{i,N-1} \gt b_{i,N} $, 我们得出$a_{i,N}=b_{i,N}\lt a_{i,N-1}$
只有$b_{i,N} = a_{i,N-1}$的情况，我们才可能有$a_{i,N} \gt a_{i,N}$

然后我们选择一个充分大的N+1为所有$p_i, i\in I$的倍数。 于是$b_{i,N+1} \gt b_{i,N}$.
我们这时查看$i \in I$, 如果某个$a_{i,N-1} \gt b_{i,N}$, 那么我们得出 $a_{i,N} = b_{i,N} \lt b_{i,N+1}$, 同$i \in I$矛盾，由此得出对于所有的$i \in I$必然有$a_{i,N-1} = b_{i,N}$
又因为$(N,p_i)=1, i\in I$, 所以得出$b_{i,N}=b_{i,N-1}, i\in I$, 由此得出$a_{i,N-2} \ge a_{i,N-1}， i\in I$. 由于对于不在I中的i,有$a_{i,N-2}=a_{i,N-1}$,我们得出$f(N-2)\ge f(N-1)$，这个显然是矛盾的。
所以必然使用的素数数目没有上限