Z 是 ΔABC 平面上一点，证：ZB×ZC/(AB×AC)+ZC×ZA/(BC×BA)+(ZA×ZB)/(CA×CB)≥1

dlsh

Z 是 ΔABC 平面上一点，证：ZB×ZC/(AB×AC)+ZC×ZA/(BC×BA)+(ZA×ZB)/(CA×CB)≥1

mathe

这个要在复平面上做，会异常简单。
设A,B,C三点在复平面上对应复数a,b,c, Z点对应复数z.
定义
\(f(z)=\frac{(z-b)(z-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(z-c)(z-a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{(z-a)(z-b)}{(c-a)(c-b)}\)
于是f是z的二次多项式。注意到\(f(a)=f(b)=f(c)=1\),所以二次多项式\(f(z)-1\)有三个不同的零点a,b,c，这说明\(f(z)-1\equiv 0\), 也就是\(f(z)=1\)。
于是\(\left|\frac{(z-b)(z-c)}{(a-b)(a-c)}\right|+\left|\frac{(z-c)(z-a)}{(b-c)(b-a)}\right|+\left|\frac{(z-a)(z-b)}{(c-a)(c-b)}\right|\ge\left|f(z)\right|=1\)
取等号时，要求三个分量同方向（或者为0），对应这里是z等于a,b,c之一。

dlsh

谢谢参与，解答很精彩，可能漏了一种情形。
原作者解答

dlsh

原作者的分析完全正确