Baillie_PSW素性判定的mathematica代码（有详细解释）

nyy

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. Lucas[n0_]:=Module[
   
3.     (*指定局部变量*)
   
4.     {n=n0,m,s,P,Q,d,JS,mi2,UU,VV,UUtemp,VVtemp,kk},
   
5.     If[Mod[n,2]==0&&n>2,Return[False]];(*排除偶数*)
   
6.     If[IntegerQ[Sqrt[n]],Return[False]];(*如果是完全平方数,返回False*)
   
7.     (*写成n+1=2^s*m的形式*)
   
8.     m=n+1;
   
9.     (*s=0;While[Mod[m,2]==0,m=m/2;s=s+1];*)
   
10.     (*根据P=3 4 5 6 7 Q=1,以及雅克比符号等于-1来找到P,如果d与n有约数,则返回false,且d不应该是n的倍数*)
    
11.     (*此处如果n很小,而d较大且是n的倍数,这时可能存在n是质数,而雅克比符号等于零的情况,这种情况需要特殊处理一下*)
    
12.     P=3;Q=1;d=P^2-4*Q;JS=JacobiSymbol[d,n];If[JS==0,Return[False]];
    
13.     While[JS==1,P=P+1;d=P^2-4*Q;JS=JacobiSymbol[d,n];If[JS==0,Return[False]]];
    
14.     mi2=IntegerDigits[m,2];(*把m写成二进制的方式*)
    
15.     UU=1;VV=P;(*分别是lucas序列的U(1)与V(1)的值*)
    
16.     Do[
    
17.         UU=Mod[UU*VV,n];
    
18.         VV=Mod[VV^2-2,n];(*此处Q=1*)
    
19.         If[mi2[[kk]]==1,
    
20.             UUtemp=(P*UU+VV);
    
21.             VVtemp=(d*UU+P*VV);
    
22.             (*UUtemp,VVtemp都可能是奇数,如果是奇数,则加上一个n,这样就是偶数了,
    
23.             下面才能除以2得到整数,至于为什么要这么做,我也不是太清楚为什么,
    
24.             可能是由于n是奇数,模的时候,减去偶数个n奇偶性不变,而减去奇数个n奇偶性变了.
    
25.             20220824补充:除以2,其实是乘以2模n的逆,而2模n的逆=(n+1)/2,这里n肯定是奇数
    
26.             当UUtemp=2k(偶数的时候),2k*(n+1)/2=k*(n+1)=k(mod n),相当于直接除以2,
    
27.             当UUtemp=2k+1(奇数的时候),(2k+1)*(n+1)/2=2k*(n+1)/2+(n+1)/2=k+(n+1)/2=(2k+1+n)/2(mod n),相当于加上n后再除以2,
    
28.             VVtemp同理
    
29.             *)
    
30.             If[OddQ[UUtemp],UUtemp=UUtemp+n];
    
31.             If[OddQ[VVtemp],VVtemp=VVtemp+n];
    
32.             UU=Mod[UUtemp/2,n];
    
33.             VV=Mod[VVtemp/2,n]
    
34.         ],
    
35.         {kk,2,Length@mi2}];(*此处必须从2开始,程序没有错误!*)
    
36.     If[UU==0&&Mod[VV,n]==2,Return[True],Return[False]]
    
37. ]
    
38. 
    
39. (*miller rabin测试,n0是被测试的整数,a0是选择的基*)
    
40. MillerRabin[n0_,a0_]:=Module[{n=n0,a=a0,s,m,t1,k},
    
41.     s=0;m=n-1;While[Mod[m,2]==0,m=m/2;s=s+1];
    
42.     t1=PowerMod[a,m,n];
    
43.     If[t1==1,Return[True]];
    
44.     k=0;While[k<s-1&&t1!=n-1,k=k+1;t1=Mod[t1^2,n]];
    
45.     If[t1==n-1,Return[True],Return[False]]
    
46. ]
    
47. 
    

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1.             (*UUtemp,VVtemp都可能是奇数,如果是奇数,则加上一个n,这样就是偶数了,
   
2.             下面才能除以2得到整数,至于为什么要这么做,我也不是太清楚为什么,
   
3.             可能是由于n是奇数,模的时候,减去偶数个n奇偶性不变,而减去奇数个n奇偶性变了.
   
4.             20220824补充:除以2,其实是乘以2模n的逆,而2模n的逆=(n+1)/2,这里n肯定是奇数
   
5.             当UUtemp=2k(偶数的时候),2k*(n+1)/2=k*(n+1)=k(mod n),相当于直接除以2,
   
6.             当UUtemp=2k+1(奇数的时候),(2k+1)*(n+1)/2=2k*(n+1)/2+(n+1)/2=k+(n+1)/2=(2k+1+n)/2(mod n),相当于加上n后再除以2,
   
7.             VVtemp同理
   
8.             *)
   

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感谢@无心人 让我彻底搞明白了我曾经搞不明白的！

nyy

今年彻底整明白lucas算法，很开心!

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1. ExtraLucas[n0_]:=Module[
   
2.     (*指定局部变量*)
   
3.     {n=n0,m,s,P,Q,d,JS,mi2,UU,VV,UUtemp,VVtemp,kk,k},
   
4.     If[Mod[n,2]==0&&n>2,Return[False]];(*排除偶数*)
   
5.     If[IntegerQ[Sqrt[n]],Return[False]];(*如果是完全平方数,返回False*)
   
6.     (*写成n+1=2^s*m的形式,其中m是奇数*)
   
7.     m=n+1;
   
8.     s=0;While[Mod[m,2]==0,m=m/2;s=s+1];
   
9.     (*根据P=3 4 5 6 7 Q=1,以及雅克比符号等于-1来找到P,如果d与n有约数,则返回false,且d不应该是n的倍数*)
   
10.     (*此处如果n很小,而d较大且是n的倍数,这时可能存在n是质数,而雅克比符号等于零的情况,这种情况需要特殊处理一下*)
    
11.     P=3;Q=1;d=P^2-4*Q;JS=JacobiSymbol[d,n];If[JS==0,Return[False]];
    
12.     While[JS==1,P=P+1;d=P^2-4*Q;JS=JacobiSymbol[d,n];If[JS==0,Return[False]]];
    
13.     mi2=IntegerDigits[m,2];(*把m写成二进制的方式*)
    
14.     UU=1;VV=P;(*分别是lucas序列的U(1)与V(1)的值*)
    
15.     Do[
    
16.         UU=Mod[UU*VV,n];
    
17.         VV=Mod[VV^2-2,n];(*此处Q=1*)
    
18.         If[mi2[[kk]]==1,
    
19.             UUtemp=(P*UU+VV);
    
20.             VVtemp=(d*UU+P*VV);
    
21.             (*UUtemp,VVtemp都可能是奇数,如果是奇数,则加上一个n,这样就是偶数了,
    
22.             下面才能除以2得到整数,至于为什么要这么做,我也不是太清楚为什么,
    
23.             可能是由于n是奇数,模的时候,减去偶数个n奇偶性不变,而减去奇数个n奇偶性变了.
    
24.             20220824补充:除以2,其实是乘以2模n的逆,而2模n的逆=(n+1)/2,这里n肯定是奇数
    
25.             当UUtemp=2k(偶数的时候),2k*(n+1)/2=k*(n+1)=k(mod n),相当于直接除以2,
    
26.             当UUtemp=2k+1(奇数的时候),(2k+1)*(n+1)/2=2k*(n+1)/2+(n+1)/2=k+(n+1)/2=(2k+1+n)/2(mod n),相当于加上n后再除以2,
    
27.             VVtemp同理
    
28.             *)
    
29.             If[OddQ[UUtemp],UUtemp=UUtemp+n];
    
30.             If[OddQ[VVtemp],VVtemp=VVtemp+n];
    
31.             UU=Mod[UUtemp/2,n];
    
32.             VV=Mod[VVtemp/2,n]
    
33.         ],
    
34.         {kk,2,Length@mi2}];(*此处必须从2开始,程序没有错误!*)
    
35.     (*UU[m]=0的同时VV[m]必须是正负2,才返回True*)
    
36.     If[And[UU==0,Or[Mod[VV-2,n]==0,Mod[VV+2,n]==0]],Return[True]];
    
37.     k=0;While[k<s-1&&VV!=0,k=k+1;VV=Mod[VV^2-2,n]];(*计算VV[m*2^k]的值*)
    
38.     If[VV==0,Return[True],Return[False]](*判定VV[m*2^k]的值是否等于零*)
    
39. ]
    

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论文链接
https://www.ams.org/journals/mco ... 5718-00-01197-2.pdf

郭先强，你用的是

1.     k=0;While[k<s-1&&VV!=0,k=k+1;VV=Mod[VV^2-2,n]];(*计算VV[m*2^k]的值*)
   

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（此处运行后k有可能达到s-1）
还是

1.     k=0;While[k<s-2&&VV!=0,k=k+1;VV=Mod[VV^2-2,n]];(*计算VV[m*2^k]的值*)
   

复制代码

你用的是哪个？
@gxqcn

nyy

1. (*全部是Strong Lucas pseudoprimes*)
   
2. aaa={5459,5777,10877,16109,18971,22499,24569,25199,40309,58519,75077,97439,100127,113573,115639,130139,155819,158399,161027,162133,176399,176471,189419,192509,197801,224369,230691,231703,243629,253259,268349,288919,313499,324899};
   
3. bbb=Lucas[#]&/@aaa
   
4. ccc=ExtraLucas[#]&/@aaa
   
5. 
   
6. (*全部是Lucas pseudoprimes*)
   
7. aaa={323,377,1159,1829,3827,5459,5777,9071,9179,10877,11419,11663,13919,14839,16109,16211,18407,18971,19043,22499,23407,24569,25199,25877,26069,27323,32759,34943,35207,39059,39203,39689,40309,44099,46979,47879}
   
8. ccc=ExtraLucas[#]&/@aaa
   
9. Tally[ccc]
   
10. 
    
11. (*全部是Extra strong Lucas pseudoprimes*)
    
12. aaa={989,3239,5777,10877,27971,29681,30739,31631,39059,72389,73919,75077,100127,113573,125249,137549,137801,153931,155819,161027,162133,189419,218321,231703,249331,370229,429479,430127,459191,473891,480689,600059,621781,632249,635627}
    
13. ccc=ExtraLucas[#]&/@aaa
    
14. Tally[ccc]
    

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