8 + 8 x + x^4 = y^2 的有理解

creasson · 发表于 2022-9-3 17:00:58

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试求一组有理解
$ 8 + 8 x + x^4 = y^2$

mathe · 发表于 2022-9-3 17:29:01

设y=x^2+z, 代入得到$2zx^2-8x+z^2-8=0$
于是这个关于x的二次方程根的判别式必须是有理数的平方，所以我们有
$w^2=-8z^3+64z+64$
取$Y=w,X=-2z$, 对应椭圆曲线方程$Y^2=X^3-32X+64$, 而且我们知道有特解$X=0,Y=8$
使用pari/gp,可以判断这个椭圆曲线只有三组有理解
[0,8],[4,0],[0,-8]。都对应x=-1.

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[原创] 8 + 8 x + x^4 = y^2 的有理解

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