（本人已解決）請問高斯發明的圓周率公式是這個嗎？

ejsoon

$$\pi=48arctan\frac{1}{48}+32arctan\frac{1}{57}-20arctan\frac{1}{239}$$

我用計算器驗證之後發現不對。

之後我在這個網頁見到以下公式：



請問arctan如何展開？請問這兩個公式是等價的嗎？

ejsoon

我在這裏見到了arctan的展開式。

ejsoon

好像式子中的 $\frac1{48}$ 應改為 $\frac1{18}$

northwolves

$\pi =4\arctan 1=4(\arctan\frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3})$
$\pi =16\arctan \frac{1}{5}-4\arctan \frac{1}{239}$
$\pi=8\arctan\frac{1}{3}+4\arctan \frac{1}{7}$
$\pi=8\arctan\frac{1}{2}-4\arctan \frac{1}{7}$

ejsoon

northwolves 发表于 2022-9-27 23:03
$\pi =4\arctan 1=4(\arctan\frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3})$
$\pi =16\arctan \frac{1}{5}-4\arctan \f ...

第一個是常識，第二個是馬青公式，第三和第四個我不知道來源，或許也是幾何計算得到的？

ejsoon

northwolves 发表于 2022-9-27 23:03
$\pi =4\arctan 1=4(\arctan\frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3})$
$\pi =16\arctan \frac{1}{5}-4\arctan \f ...

我寫了一篇文章《計算圓周率公式歷史》，還望高手指教。

northwolves

$\arctan x + \arctany = \arctan\frac{x+y}{1-xy}$
$\pi=arctan(1) +arctan(2) + arctan(3)$

northwolves

$tan(2x)=\frac{2tanx}{1-tan^2x}$

$tan(2x+y)=\frac{tan2x+tany}{1-tan2xtany}=\frac{2tanx+tany-tan^2xtany}{1-2tanxtany-tan^2x)$

设 $2x+y=\frac{\pi}{4}，tanx=1/m,tany=1/n$，

可得：$2/m+1/n-1/(m^2n)=1-2/(mn)-1/m^2$

$n = (m^2 + 2 m - 1)/(m^2 - 2 m - 1)=1+{4m}/(m^2 - 2 m - 1)$

得：$m = ± 1, n = -1$
$m = 2, n = -7$
$m = 3, n = 7$

northwolves

同理：$tan(4x)=\frac{2tan2x}{1-tan^{2}2x}=\frac{\frac{4tanx}{1-tan^{2}x}}{1-(\frac{2tanx}{1-tan^{2}x})^2}=\frac{4tanx(1-tan^2x)}{1-6tan^2x+tan^4x}$

$tan(4x+y)=\frac{tan4x+tany}{1-tan4xtany}=\frac{frac{4tanx(1-tan^2x)}{1-6tan^2x+tan^4x}+tany}{1-\frac{4tanxtany(1-tan^2x)}{1-6tan^2x+tan^4x}$

设 $4x+y=\frac{\pi}{4}，tanx=1/m,tany=1/n$，

可得：$4/m(1-1/m^2)+1/n(1-6/m^2+1/m^4)=1-6/m^2+1/m^4-4/(mn)(1-1/m^2)$

$n = 1+{8(m^3-m)}/(1 + 4 m - 6 m^2 - 4 m^3 + m^4)$

得：$m = ± 1, n = 1$
$m = 5, n = -239$