如果样本空间是无限集合，那么建立在该样本空间上的概率必须是极限？

jiewenji

概率引论何书元P15
请看下图例题。
1、样本空间是个无限集合，于是当极限存在时，用极限来定义概率。那么是否只要样本空间是无限集合，建立在该“概率空间”之上的概率P就必须是一个“极限”呢？

2、该例子中将说明将Ω的所有子集都视为事件是行不通的。给出的解决方法是“当我们只对 的子集 {jm|j= 1,2, · · ·}感兴趣时，只要把它们单独拿出来研究就够了．”-----------感觉哪些子集能归入为σ域是比较随意的。从这个例子中看如果Ω是全体正整数（无限集合），那么单个整数j肯定是不能归入σ域作为事件研究的。那么一个区间的整数呢？例如[4,10] 上的整数，可以归入σ域么？但是如果按照上面求极限的方式来求概率的花。[4,10] 上的整数概率似乎也是0吧。
      我记得有人给我举过类似的例子，在半径为1 的圆上掷飞镖，飞镖命中任一点的概率都是0，但是命中圆中某一个小区域（例如圆中的一个小方框）的概率却不是0  。在这个例子中圆是不可数集合(圆中所有点的坐标都是实数构成)，小方框也是不可数集合。因此小方框概率不为0。据此是否可以认为如果样本空间是个无限集合的概率空间，纳入σ域的子集必须也是无限集合，才能保证σ域中事件的概率有可能不为零？



3、公开课上老师说类似求全体正整数集合中抽中某一个正整数j 的概率P({j}) 的问题，是“这个问题在数学上没有这个问题，也没有矛盾不矛盾，数学上没法讨论这个问题”-------------这是不是有点回避问题啊，比如向原点为圆心半径为一的圆上扔飞镖，命中坐标(0.5，0.5)的概率是多少？你不能说这个问题不是数学问题吧？

【北大 概率统计】 【精准空降到 20:28】 https://www.bilibili.com/video/B ... 63b2a370&t=1228


截图：

ShuXueZhenMiHu

袋子里有两个球，一个红色，一个黄色。随机从袋子中拿出一个，如果是红色，实验结束，如果是黄色，放回袋中，然后重复前面的操作，直到取出红色。
我们需要拿几次才能拿到红球？

答案可能是 1，2，3，4，。。。

样本空间是个无限集合。
1次拿到红球的概率是二分之一
2次拿到红球的概率是四分之一
3次拿到红球的概率是八分之一，等等。

这个例子中概率P与极限没有任何关系。并且样本空间中的所有子集都可以作为事件。例如{1}，{2}，{1，2}，都可以作为事件。

jiewenji

ShuXueZhenMiHu 发表于 2022-11-16 07:09
袋子里有两个球，一个红色，一个黄色。随机从袋子中拿出一个，如果是红色，实验结束，如果是黄色，放回袋中 ...

我不太明白。这个例题是基于无限集合的。
但是你的回复中举的例子是有限集合。这两者之间有关系么？

ShuXueZhenMiHu

我的例子中的随机实验是拿到红球所用的抽取次数。它的空间是个无限集合。

如果第一次随机抽取，我们拿到了红球，那么所用的次数就是1；
如果第一次随机抽取，我们拿到黄球，在第二次随机抽取中，我们拿到红球，那么所用的次数就是2；
如果前两次随机抽取，我们拿到的都是黄球，在第三次随机抽取中，我们拿到红球，那么所用的次数就是3；
依此类推。

于是为了拿到红球，所用到的随机抽取次数的可能是 1，2，3，4，。。。

前一千次随机抽取都拿黄球，第一千零一次拿红球的情况也是可能的。

jiewenji

ShuXueZhenMiHu 发表于 2022-11-17 12:13
我的例子中的随机实验是拿到红球所用的抽取次数。它的空间是个无限集合。

如果第一次随机抽取，我们拿到 ...

谢谢你的回复。
在2楼的回答中：“这个例子中概率P与极限没有任何关系。并且样本空间中的所有子集都可以作为事件。”

但是在1楼的截图中确实用极限来定义概率。

所以我该如何理解样本空间是无限集时的概率呢？