证明正项X(n+2)=2/(X(n+1)+x(n)^2)对于某些特定的初值收敛

yigo

在哔哩哔哩上看到一道数列问题，具体查看可以搜索孙健老师
他的题目是证明正项X(n+2)=2/(X(n+1)+x(n))收敛，方法还挺有意思的。
但是我发现改成正项X(n+2)=2/(X(n+1)+x(n)^2)，多个平方，对于一些初值，数列震荡的趋于1，但是会非常慢，用excel拉了几万行了，还是精度很低，是否真的收敛。

mathe

这个应该不收敛。
我们记$t_n=x_n-1$
于是得出$t_{n+2} = -\frac{t_{n+1}+2t_n+t_n^2}{2+t_{n+1}+2t_n+t_n^2}$.
如果$t_n $在n充分大时会收敛到0，那么我们知道对于充分大的n,递推式近似于\(t_{n+2}=-\frac12(t_{n+1}+2t_n)\)
这个递推式是永远有界但是不收敛的。这是为什么本题中数列看上去似乎会收敛，因为它只有绝对值很小的时候才接近一个震荡但是不收敛数列。