一个概率问题，我无能为力，请求各位帮助。

泥古拉死

假设：
有m个相同的小球（球1，球2。。。。。。球m）。
每次随机抽取1个并放回，重复n次后，得到每个小球累计被抽取次数。

问：出现“有且仅有p个小球的累计被抽取次数皆为t次”的情形之概率为多少？（0<=p<=m,0<=t<=n)

sheng_jianguo

此问题是一个较典型的概率问题。看似简单，但要用简单公式计算出各种情况下正确的所求概率是很困难的一件事。
这个概率问题主要要搞清楚以下3点：
1. 虽然本问题实质是排列问题，但公式中什么时候用排列公式，什么时候用组合公式一定要搞清楚。
2. 此概率问题好像要用到容斥原理才可有简单公式计算。
3. 本问题的各种特殊情况（各种边界条件）是非常多的，比如`p=0、t=0、n＜pt`等等，计算公式要适用各种情况。
下面给出所求概率的计算公式，不知是否还有更简单的方法：
0. 先给出计算公式中一些式子的规定（一般情况下和数学中规定不矛盾），以满足不同情况的需要
当`k=0` 时， `k!=1` ，当`k`为正整数时， `k!=k×(k-1)×...×1`
当整数`j`和`k`满足三条件 `k＞j ，k＜0，j＜0`中任一条件时， `C^k_j=0` ，对其它情况的正整数`j`和`k`，`C^k_j=\frac{j!}{k!(j-k)!}`
当整数`ｚ≤0`时，$\sum_{i=1}^z a(i)=0$ ，对于正整数 $z,\sum_{i=1}^z a(i)=a(1)+a(2)+...+a(z)$
对任何整数 `s，s^0=1`
1. 计算抽取`n`次中的`pt` 次，有`p`个小球的累计被抽取次数恰为`t`次情况的个数`f_1(n,m,p,t)`
`f_1(n,m,p,t)=C^{pt}_n C^p_m \frac{(pt)!}{(t!)^p}`
2. 计算1.中抽取`n`次中的其余`n-pt` 次，有出现小球的累计被抽取次数恰为`t`次情况的个数`f_2(n,m,p,t)`
令`n_1=n-pt,m_1=m-p`
当`t＞0`时，若`m_1＜ \frac{n_1}{t}`，则 `p_1=m_1-1`否则 `p_1=[\frac{n_1}{t}]`,其中`[a]`为不超过`a`的最大整数
$f_2(n,m,p,t)=\sum_{i=1}^{p_1} (-1)^(i+1)$  `C^{it}_{n_1} C^{i}_{m_1} \frac{(it)!}{(t!)^i}(m_1-i)^{(n_1-it)}`
当`t=0`时，$f_2(n,m,p,0)=\sum_{i=1}^{m_1-1} (-1)^(i+1)$  `C^{i}_{m_1}(m_1-i)^{n_1}`
3. 计算所求概率`P`
`P= \frac {f_1(n,m,p,t) ({m_1}^{n_1}-f_2(n,m,p,t))}{m^n}`

例子：`n=9,m=5,p=1,t=2`
`f_1(9,5,1,2)=C^2_9 C^1_5 \frac{2!}{2^1}=180`
`n_1=7,m_1=4,p_1=4-1=3`
$f_2(9,5,1,2)=\sum_{i=1}^{3} (-1)^(i+1)$  `C^{2i}_{7} C^{i}_{4} \frac{(2i)!}{(2)^i}(4-i)^{(7-2i)}=20412-10080+2520=12852`
所求概率`P= \frac {180×({4^7}-12852)}{5^9}≈0.3259`
经编程验算，上面计算公式和结果正确。