满足指定条件的函数

NHY007

求满足如下条件的函数：

Solve f(y,a)

$$
\int_{y_1}^{y_2}{\frac{1}{f\left( y,a \right)}dy}=ka\left( y_2-y_1 \right) ^n
\\
k\ne 0,n\in N^+
\\
Solve\,\,f\left( y,a \right)
$$
百思不得其解，希望您能给些思路，谢谢！

majer

注意到，
\[\int_{y}^{y+\Delta y}{\frac{1}{f\left( y,a \right)}dy}=ka\left( \Delta y \right) ^n\]
等号右边是和y无关的量，单纯由积分上下限的差决定。

如果把积分区间 \((y_1,y_2)\) \(m\)等分，这里\(m\)是任意的正整数。\(\frac{y_2-y_1}{m}=\Delta y\)。为了避免混乱，分点重新记为\(y'_i\)，\(y’_{1}=y_1，y’_{m+1}=y_2\)。在每个区间上逐段积分，则

原等式=\[\sum_{1}^{m}\int_{y'_i}^{y'_i+\Delta y}{\frac{1}{f\left( y,a \right)}dy}=m\int_{y}^{y+\Delta y}{\frac{1}{f\left( y,a \right)}dy}=mka\left( \Delta y \right) ^n\]。
然而，直接用 \((y_1,y_2)\)，套公式，原等式左边=\[ka\left( m*\Delta y \right) ^n\]。

则\(m=m^n\),考虑\(m\)的任意性，因此仅\(n=1\)时,积分方程才有意义。此时两边直接求导就能求解了。