x(x-a)(x+b)=c只有一个正数解

manthanein

给定正数abc，问\(x(x-a)(x+b)=c\)是否有且仅有一个正数解？
我画函数图象好像是这样，但不知道怎么证明。

manthanein

推广一下，可以问：对于正数\(a_i\)和\(c\)，\(\D \prod_{i=1}^n(x+a_i)=\frac{c}{x}\)是否一定有唯一一个正数解？
如果不是，反例在\(n\)等于多少时出现？

northwolves

$x(x-a)(x+b)=c$--->$x^3-(a-b)x^2-ab x -  c=0$
$x_1x_2x_3=-c$--->$x_1,x_2,x_3三者皆负或者 一正两负$

northwolves

$x(x-a)(x+b)=c$--->$x^3-(a-b)x^2-ab x -  c=0$

若方程有三个正根：$.x_1,x_2,x_3$,展开式各项系数是这样的： $x^3 - ( x_1 +x_2 + x_3)x^2+( x_1 x_2+x_1 x_3 +  x_2 x_3 )x- x_1 x_2 x_3=0$

若方程有2个正根一个负根：$x_1,x_2,-x_3$,展开式各项系数是这样的： $x^3 - ( x_1 +x_2 - x_3)x^2+( x_1 x_2 -x_1 x_3- x_2 x_3 )x+x_1 x_2 x_3=0$

manthanein

manthanein 发表于 2022-12-19 11:50
推广一下，可以问：对于正数\(a_i\)和\(c\)，\(\D \prod_{i=1}^n(x+a_i)=\frac{c}{x}\)是否一定有唯一一个 ...

大概构思了一下，当正数x增加时，每一项都增大，所以那一串单项式的乘积单调递增，由连续性可以取任何正数。
或许可以推广为：如果最高项系数为1的一元n次多项式\(P(x)\)有n个实根，且最大根为k，那么对于任意\(c\gt P(k)\)，\(P(x)=c\)均有解且解唯一。

mathe

这个其实很简单，多项式函数f(x)=x(x-a)(x+b)只有三个零点x=0,x=a,x=-b
所以对于任意x>a, f(x)>0而且严格单调递增, 而且取遍区间$(0,+\infty)$.
  对于任意0<x<a, f(x)<0
所以对于任意c>0, f(x)=c在x>a的范围内有唯一解