韦神做过的竞赛题

dlsh

如图，分别以`△ABC`各边中点`A_0,B_0,C_0`为圆心，倚各边作通过垂心`H`的三个半圆，求证半圆端点六点共圆。
网上搜来

hujunhua

这是最适合楼主的复斜率方法的几何题了，所以由楼主贴出来。
显然，如果六点共圆的话，圆心就是`△ABC`的外心。不妨假定`△ABC`的外径等于1

以`△ABC`的外心`O`为原点，则垂心`H=A+B+C`，所以
`A_0H=A+\frac{B+C}2`，记`⊙A_0`在边BC上所截交点为`D,E`， 那么
`\begin{split}|OD|^2&=|OA_0|^2+|A_0D|^2&\\&=|OA_0|^2+|A_0H|^2&=\frac{B+C}2\cdot\overline{\frac{B+C}2}+(A+\frac{B+C}2)\cdot\overline{(A+\frac{B+C}2)}\\&&=2+\frac12(A\bar B+\bar AB+A\bar C+\bar AC+B\bar C+\bar BC)\\&&=\frac{H\bar H+1}2\end{split}`
同理，其它两圆在相应边上所截交点到原点的距离平方也是`\frac{H\bar H+1}2`

dlsh

不适合复斜率，因为根号不好处理，上楼的方法才是最好的。

dlsh

这道题比较适合复斜率，因为是线性构造命题



理论还不够完善

dlsh

链接不行，只好上传