怎么证3点共线

majer

已知A、B两点，以及从A点发出的两条射线（黑）。

现过B点任意作三条红线，交黑线于C、D、E、F、G、H。

连接DH、EG（橙线）交于M，EG并与CH交于N。

连接并延长FM（紫线），交上黑线于P。

连接PG、FN（蓝线），交于Q。

求证：A、B、Q共线。

我知道笛沙格定理，但好像没法直接用……

mathe

这个题目做一个射影变换，将直线AB变换为无穷远点，那么就变成如下图:

已知：CD//GF，CH//DG//EF
求证: PG//FN.
这个证明很简单，因为MP/MF=MD/MH=MG/MN
所以PG//FN.

对应原图，设MPF, MDH, MGN分别交直线AB于P',D',G'
于是得到交比A(M,P,F,P')=A(M,D,H,D')=B(M,D,H,D')=B(M,G,N,G')
所以O(M,P,F,P')=O(M,G,N,G'), 得到O P' G'三点共线。

mathe

使用笛沙格定理，可以查看三点形BNG和AFP
它们对应边BN和AF交于H, NG和FP交于M, BG和AP交于D点
而点H,M,D三点在一条直线上，所以两个三点形对应点连线AB,NF,GP共点Q

majer

mathe 发表于 2023-1-26 22:06
使用笛沙格定理，可以查看三点形BNG和AFP
它们对应边BN和AF交于H, NG和FP交于M, BG和AP交于D点
而点H,M,D ...

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dlsh

MMA程序暴力证明

1. (*s,t,u,v,w分别是AC、AF、CB、DB和EB的复斜率*)
   
2. 
   
3. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) = a = 1;
   
4. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = b = 0;
   
5. KAB[a_, b_] := (a - b)/(
   
6. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
   
7. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\));
   
8. \!\(\*OverscriptBox["KAB", "_"]\)[a_, b_] := 1/KAB[a, b];(*复斜率定义*)
   
9. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((
   
10. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d - c
    
11. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (a - b) - (
    
12. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b - a
    
13. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d))/((a - b) (
    
14. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
15. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
16. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
17. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)
    
18. 
    
19. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a_, b_, c_, d_] := -(((c
    
20. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
    
21. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d) (
    
22. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
23. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) - ( a
    
24. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
    
25. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b) (
    
26. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
27. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)))/((a - b) (
    
28. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
29. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
30. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
31. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d)));
    
32. 
    
33. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1
    
34. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\) - (a2 - k2
    
35. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(
    
36.   k1 - k2));(*复斜率等于k1,过点A1与复斜率等于k2,过点A2的直线交点*)
    
37. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1
    
38. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\)) - k1 (a2 - k2
    
39. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(k1 - k2));
    
40. c = Jd[s, a, u, b];
    
41. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) =
    
42. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[s, a, u, b]; d = Jd[s, a, v, b];
    
43. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) =
    
44. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[s, a, v, b]; e = Jd[s, a, w, b];
    
45. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) =
    
46. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[s, a, w, b];
    
47. h = Jd[t, a, u, b];
    
48. \!\(\*OverscriptBox["h", "_"]\) =
    
49. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[t, a, u, b]; g = Jd[t, a, v, b];
    
50. \!\(\*OverscriptBox["g", "_"]\) =
    
51. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[t, a, v, b]; f = Jd[t, a, w, b];
    
52. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) =
    
53. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[t, a, w, b];
    
54. m = FourPoint[d, h, e, g];
    
55. \!\(\*OverscriptBox["m", "_"]\) =
    
56. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[d, h, e, g]; n =
    
57. FourPoint[c, h, e, g];
    
58. \!\(\*OverscriptBox["n", "_"]\) =
    
59. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[c, h, e, g];
    
60. p = FourPoint[f, m, a, c];
    
61. \!\(\*OverscriptBox["p", "_"]\) =
    
62. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[f, m, a, c];
    
63. q = FourPoint[f, n, p, g];
    
64. \!\(\*OverscriptBox["q", "_"]\) =
    
65. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[f, n, p, g];
    
66. Simplify[{1, c, d, e}]
    
67. Simplify[{2, h, g, f}]
    
68. Simplify[{3, m, n}]
    
69. Simplify[{4, q,
    
70. \!\(\*OverscriptBox["q", "_"]\)}]
    
71. Factor[{4, q,
    
72. \!\(\*OverscriptBox["q", "_"]\)}]
    
73. 
    

复制代码

TSC999

把 5# 楼的 mathematica 程序用图片显示如下，以便没有安装 mathematica 的友友阅读。
下面图片中的程序对 5# 的程序稍有修改，为的是更容易理解。


程序清单

程序运行结果：

TSC999

5# 楼的 dlsh 先生对复平面上直线的【复斜率】概念在平面解析几何中的应用进行了多年研究，推导出了两条直线的交点公式，两条直线间的夹角公式……。对于楼主这个多条直线相交的问题，除纯几何方法外，我认为用 dlsh 的解析方法做是最简单易懂的。因为这个方法不需要多少费脑子的思考，只须按步就班套公式求出各点的复坐标表达式即可。最终判断 A、B、Q 是否共线，只须用软件计算通过 B 点的直线 AB 和 BQ 的复斜率是否一样就行了。

下面是 6#楼的程序代码，安装有 mathematica 的友友可以点击复制。

1. Clear["Global`*"];
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = a = 0;  \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = 1; (* 令 s、t 分别是 AX、AY 的复斜率。u、v、w 分别是 CB、DB、EB 的复斜率。*)
   
3. (* 调用以下自定义函数求 C、D、E、F、G、H 点的坐标：*)
   
4. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\));(*复斜率定义*)
   
5. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
   
6. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
   
7. (*复斜率等于k1且经过A1点的直线，与复斜率等于k2且经过A2点的直线，两直线的交点*)
   
8. c = Jd[s, a, u, b]; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[s, a, u, b];
   
9. d = Jd[s, a, v, b]; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[s, a, v, b];
   
10. e = Jd[s, a, w, b]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[s, a, w, b];
    
11. h = Jd[t, a, u, b]; \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[t, a, u, b];
    
12. g = Jd[t, a, v, b]; \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[t, a, v, b];
    
13. f = Jd[t, a, w, b]; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[t, a, w, b];
    
14. m = Jd[k[d, h], d, k[e, g], e]; \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[d, h], d, k[e, g], e];
    
15. n = Jd[k[c, h], c, k[e, g], e];  \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[c, h], c, k[e, g], e];
    
16. p = Jd[s, c, k[f, m], f]; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[s, c, k[f, m], f];
    
17. q =  Jd[k[g, p], g, k[f, n], f]; \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[g, p], g, k[f, n], f];
    
18. Simplify[{C -> c, D -> d, "E" -> e}]
    
19. Simplify[{H -> h, G -> g, F -> f}]
    
20. Simplify[{M -> m, N -> n, Q -> q}]
    
21. Simplify[k[a, b] == k[b, q]](*如果通过同一个点 B 的线段 AB 和 BQ 的复斜率相等，则 A、B、Q 三点共线*)

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