一道几何题

yuanqifan

已知AD为∠BAC角平分线，P是线段AD上一动点，直线BP交AC于E，直线CP交AB于F，直线EF与△ABC的外接圆在A点处的切线相交于Q。
求证：QA=QP。

yuanqifan

本来感觉很水，实际上挺难

题目描述我已经改过了~

dlsh

1. AD是角平分线，求证：AB = PQ，PQ // BC
   
2. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = b = 0;
   
3. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) = c = 1;
   
4. a = 1/(1 - \[Lambda] v);
   
5. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) = v/(v - \[Lambda] );(*假设
   
6. \!\(\*OverscriptBox["AC", "_"]\) /
   
7. \!\(\*OverscriptBox["AB", "\[RightVector]"]\)=\[Lambda]v*)
   
8. 
   
9. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) = d = 1/(1 - \[Lambda] ); o = 1/(
   
10. 1 - v^2);
    
11. \!\(\*OverscriptBox["o", "_"]\) = -(v^2/(
    
12.   1 - v^2));(*内角平分线性质定理，圆心角是圆周角2倍*)
    
13. (*a,d,o各点复坐标由向量定比分点公式求出*)
    
14. KAB[a_, b_] := (a - b)/(
    
15. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
16. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\));
    
17. \!\(\*OverscriptBox["KAB", "_"]\)[a_, b_] := 1/KAB[a, b](*复斜率定义*)
    
18. 
    
19. \!\(\*OverscriptBox["p", "_"]\) =
    
20. \!\(\*OverscriptBox["KAB", "_"]\)[a, d] (p - a) +
    
21. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\);(*P在直线AD上*)
    
22. 
    
23. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1
    
24. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\) - (a2 - k2
    
25. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(
    
26.   k1 - k2));(*复斜率等于k1,过点A1与复斜率等于k2,过点A2的直线交点*)
    
27. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1
    
28. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\)) - k1 (a2 - k2
    
29. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(k1 - k2));
    
30. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((
    
31. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d - c
    
32. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (a - b) - (
    
33. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b - a
    
34. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d))/((a - b) (
    
35. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
36. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
37. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
38. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)
    
39. 
    
40. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a_, b_, c_, d_] := -(((c
    
41. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
    
42. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d) (
    
43. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
44. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) - ( a
    
45. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
    
46. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b) (
    
47. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
48. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)))/((a - b) (
    
49. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
50. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
51. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
52. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d)));
    
53. f = FourPoint[a, b, c, p];
    
54. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) =
    
55. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a, b, c, p]; e =
    
56. FourPoint[a, c, b, p];
    
57. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) =
    
58. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a, c, b, p];
    
59. q = Jd[-KAB[a, o], a, KAB[e, f], e];
    
60. \!\(\*OverscriptBox["q", "_"]\) =
    
61. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[-KAB[a, o], a, KAB[e, f], e];
    
62. Simplify[{1,
    
63. \!\(\*OverscriptBox["p", "_"]\), , f,
    
64. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\), , e,
    
65. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\)}]
    
66. Simplify[{2, q,
    
67. \!\(\*OverscriptBox["q", "_"]\)}]
    
68. Simplify[{3, a - q, p - q, (a - q)/(p - q)}]
    
69. Simplify[KAB[p, q](*验证AB//PQ *)

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Edge,QQ,360浏览器都传不了图

nyy

dlsh 发表于 2023-2-13 20:29
Edge,QQ,360浏览器都传不了图

真受不了你，一个缩进都没有！这种代码扔给我，我直接扔掉，因为实在看不下去。

mathe

这道题目可以转化为要求证明PQ//BC. 而题目比较不好处理的是角平分线。考虑到本题中G点处切线也和BC平行，我们可以去掉AG是$/_BAC$角平分线的条件，改为证明G点处切线,BC,PQ三线共点

于是这就变成一个射影几何的题目了。而由于总存在射影变换将一条任意圆锥曲线变换为另外一条，而且指定曲线上三个不同点的像。我们可以通过将这个一般化问题中圆还是变换为本身，B,C保持不动，G点变换后使得BG和CG两段圆弧相等，就变换为本题情况。所以这个一般化的问题和本地等价，但是可以去掉角平分线的条件。
另外我们如果采用射影几何简介31#中保持一个点处保角（所有经过这个点的直线变换后是自身），另外将一条不经过此点的直线变换到无穷远直线的变换方案，
我们对本题中做射影变换使得过A点的直线映射到自身，直线BC映射到无穷远直线，于是圆变成一条双曲线，其中B,C两点为双曲线上两条渐近线方向的无穷远点。
AB和AC变成过A点和渐近线平行的直线。由于保持过A点直线方向不变，角平分线AP变成和双曲线对称轴平行的直线，而BP和CP有同渐近线平行，得到如下的图:

要求证明直线PQ和过G点的切线平行，这个由对称性马上可以得出。所以证明了本题。

yigo

延长AQ、CB交于点R，则RA=RD，设三角形ABC定点A、B、C定点的对边长为a、b、c，设RB长为r，则BD=ac/(b+c)，又RB*RC=RA^2=RD^2，即r(r+a)=(r+ac/(b+c))^2，求得r=ac^2/(b^2-c^2)。
设AF/AB=x，AE/AC=y，AP/AD=t，AQ/AR=z，由梅涅劳斯定理有(a+r)/x=a/z+r/y，x/(1-x)*(b+c)/b*(1-t)/t=1，y/(1-y)*(b+c)/c*(1-t)/t=1，应该可以解得z=t，即PQ平行于RD，这QA=QP。

dlsh

转自百度贴吧https://tieba.baidu.com/p/8221102001，凸四边形ABDC满足AB=AC，BD=BC，平面内两点EF满足∠EAF=1/2∠BAC，∠EDF=1/2∠BDC，BE交CF于G，求证：AG/DG=AB/BD与角度相关的问题，复数比较方便

mathe

G点落在过B,C两点的阿氏圆上。所以证明角BGC为常数即可