1^4+2^4+3^4+...........999^4之和的个位数是几？

xfhaoym

1^4+2^4+3^4+...........999^4之和的个位数是几？有几种方法？

northwolves

\[Mod[Sum[n^4, \{n, 1, 999\}], 10^3]\]

300

northwolves

1. Sum[a^4, {a, 1, 9}]=3

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100*3=300,末尾0

northwolves

1. Mod[Sum[n^4, {n, 999}], 10^4]=3300

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zeroieme

northwolves 发表于 2023-2-18 23:20
100*3=300,末尾0

总结，最简单的就是100*n,末尾0

nyy

前n项和，四次方的，和等于
\[\frac{1}{30} n (n+1) (2 n+1) \left(3 n^2+3 n-1\right)\]

当n=999的时候，等于199500333333300，个位数等于零

gxqcn

一个整数的整次幂的个位数，与底数中非个位数的数字无关，即 \((10*k+b)^r\equiv b^r \pmod{10}\)

我们可在等式前面加上一项 \(0^4\)，并不影响结果：
\begin{align*}&\mathrel{\phantom{=}}1^4+2^4+3^4+\cdots+999^4 \\
&= (0^4+1^4+\cdots+9^4)+(10^4+11^4+\cdots+19^4)+\cdots+(990^4+991^4+\cdots+999^4) \\
&\equiv (0^4+1^4+\cdots+9^4)*100 \\
&\equiv 0 \pmod{10}\end{align*}
添加 \(0^4\) 后，项数从 999 变为 1000；每连续 10 个为一组（其和个位数恒定），正好 100 组，所以累计和的个位数为 0