用向量法求解四面体的体积

nyy

四面体OABC，
求解OH平方
\[\frac{a^2 b^2 c^2 \left(\text{CosA}^2-2 \text{CosA} \text{CosB} \text{CosC}+\text{CosB}^2+\text{CosC}^2-1\right)}{a^2 \left(b^2 \left(\text{CosC}^2-1\right)+2 b c (\text{CosA}-\text{CosB} \text{CosC})+c^2 \left(\text{CosB}^2-1\right)\right)+2 a b c (b (\text{CosB}-\text{CosA} \text{CosC})+c (\text{CosC}-\text{CosA} \text{CosB}))+b^2 c^2 \left(\text{CosA}^2-1\right)}\]

看下分母
化简得到
\[\frac{1}{4} (x-y-z) (x+y-z) (x-y+z) (x+y+z)=-4S^2\]
其中S表示三角形ABC的面积

最后体积表达式
\[V=\frac{1}{6} \text{abc} \sqrt{1+2 \text{CosA} \text{CosB} \text{CosC}-\text{CosA}^2-\text{CosB}^2-\text{CosC}^2}\]

全部代码如下：

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*子函数,计算余弦值,利用三边计算余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. ru={CosA->cs[b,c,x],CosB->cs[a,c,y],CosC->cs[a,b,z]}
   
5. rule={OA*OB->a*b*cs[a,b,z],OA*OC->a*c*cs[a,c,y],OB*OC->b*c*cs[b,c,x],OA->a,OB->b,OC->c}
   
6. (*下面的规则替换上面的规则,重新定义*)
   
7. rule={OA*OB->a*b*CosC,OA*OC->a*c*CosB,OB*OC->b*c*CosA,OA->a,OB->b,OC->c}
   
8. OH=s*OA+t*OB+(1-s-t)*OC(*用向量OA、OB、OC来表达ABC面上的高OH*)
   
9. f1=(OH*(OA-OB)//Expand)/.rule(*OH垂直于向量AB*)
   
10. f2=(OH*(OA-OC)//Expand)/.rule(*OH垂直于向量AC*)
    
11. ans=Solve[{
    
12.     f1==0,
    
13.     f2==0
    
14. },{s,t}](*求解出系数s与t*)
    
15. (*化简OH的高度的平方*)
    
16. f=((OH^2//Expand)/.ans[[1]])/.rule//FullSimplify
    
17. aaa=Denominator[f]/.ru//Factor
    

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nyy

用向量法求解都比较困难，因为计算量非常的大，
优点就是高中生都能理解，
相对来说计算量比较小的办法，我见到的，都是用行列式来推导体积

nyy

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 5&fromuid=14149

算是对这个问题的回复，13年前的问题的回复

nyy

mathematica能计算向量的内积吗？@chyanog 能不？我只会用笨办法来替换