三角形中的余弦不等式

youthdoo

在三角形\(ABC\)中求证:
\[\sqrt{\cos^2A-6\cos A+5}+\sqrt{\cos^2B-6\cos B+5}+\sqrt{\cos^2C-6\cos C+5}\le\frac92.\]

nyy

我看完后没任何思路，不知道拉格朗日乘子法如何

nyy

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 0&fromuid=14149
引用这儿的结果，化简问题

\[f=\sqrt{a^2-6 a+5}+\sqrt{b^2-6 b+5}+\sqrt{c^2-6 c+5}+t \left(a^2+b^2+c^2+2 a b c-1\right)\]

求偏导数，解方程组，求解结果如下：
\[
\begin{array}{llll}
a\to -1.000000000 & b\to 3.000000000 & c\to 3.000000000 & t\to 0.07216878365 \\
a\to 0.5000000000 & b\to 0.5000000000 & c\to 0.5000000000 & t\to 1.111111111 \\
a\to 3.000000000 & b\to -1.000000000 & c\to 3.000000000 & t\to 0.07216878365 \\
a\to 3.000000000 & b\to 3.000000000 & c\to -1.000000000 & t\to 0.07216878365 \\
a\to 0.2674923595+0.2608869774 i & b\to 0.9930197051-0.2791410926 i & c\to 0.2674923595+0.2608869774 i & t\to 0.8201469710-0.4808912947 i \\
a\to 0.9930197051-0.2791410926 i & b\to 0.2674923595+0.2608869774 i & c\to 0.2674923595+0.2608869774 i & t\to 0.8201469710-0.4808912947 i \\
a\to 0.2674923595+0.2608869774 i & b\to 0.2674923595+0.2608869774 i & c\to 0.9930197051-0.2791410926 i & t\to 0.8201469710-0.4808912947 i \\
a\to 0.2674923595-0.2608869774 i & b\to 0.9930197051+0.2791410926 i & c\to 0.2674923595-0.2608869774 i & t\to 0.8201469710+0.4808912947 i \\
a\to 0.9930197051+0.2791410926 i & b\to 0.2674923595-0.2608869774 i & c\to 0.2674923595-0.2608869774 i & t\to 0.8201469710+0.4808912947 i \\
a\to 0.2674923595-0.2608869774 i & b\to 0.2674923595-0.2608869774 i & c\to 0.9930197051+0.2791410926 i & t\to 0.8201469710+0.4808912947 i \\
\end{array}
\]
很显然取第二行的解。

代入前四个解，得到函数值
\[
\left\{2 \sqrt{3}+4 i,\frac{9}{2},2 \sqrt{3}+4 i,2 \sqrt{3}+4 i\right\}
\]

全部代码如下：

1. Clear["Global`*"];
   
2. cond=Det[{{-1,a,b},{a,-1,c},{b,c,-1}}](*约束条件*)
   
3. (*拉格朗日乘子法建立目标函数*)
   
4. f=Sqrt[a^2-6a+5]+Sqrt[b^2-6b+5]+Sqrt[c^2-6c+5]+t*cond
   
5. (*求偏导数,解方程组*)
   
6. ans=Solve[GroebnerBasis@D[f,{{a,b,c,t}}]==0,{a,b,c,t}]
   
7. aaa=N[ans,10](*结果数值化*)
   
8. Grid[aaa,Alignment->Left](*列表显示*)
   
9. bbb=f/.ans[[1;;4]](*只代入前几个解,因为后面是复数解*)
   

复制代码

wayne

偷个懒,用软件 捷足先登,看看结果

1. Solve[{1/ ((a+b c)^2) (3-a)^2/(5-6 a+a^2)==1/ ((b+a c)^2) (3-b)^2/(5-6 b+b^2)==1/ ((c+b a)^2) (3-c)^2/(5-6 c+c^2),a^2+b^2+c^2+2 a b c==1&&a^2<=1&&b^2<=1&&c^2<=1},{a,b,c},Reals]

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解得, $a=b=c =1/2$时,取得极值, 回代确定为最大值,是$9/2$

nyy

wayne 发表于 2023-3-20 16:48
偷个懒,用软件 捷足先登,看看结果

解得, $a=b=c =1/2$时,取得极值, 回代确定为最大值,是$9/2$

出来解释一下呀，我看不懂你的这个代码中表达式怎么变了？我唯一看懂的就是你利用了我的替换的思想来求解极值

youthdoo

wayne 发表于 2023-3-20 16:48
偷个懒,用软件 捷足先登,看看结果

解得, $a=b=c =1/2$时,取得极值, 回代确定为最大值,是$9/2$

请问4#, 3#中代码用的是什么语言?