证明r, R, s多项式为非负的一般方法

youthdoo

三角形不等式很多可以化为关于\(r\), \(R\), \(s\)的多项式非负问题. 我们通过Blundon不等式\[|s^2-2R^2-10Rr+r^2|\le2(R-2r)\sqrt{R(R-2r)},\]和Euler不等式\(R\ge2r\)理论上足以解决问题.

然而, 这样带根式的结论不便于运用, 并且可能出现需要分类讨论的情况. 那么, 我们能否给出一种代数结构, 对\(r\), \(R\), \(s\)进行代换, 使两则不等式都成立, 从而消去条件?

事实上, 曾有过动机和效果类似的代换, 可以见此文. 但是链接中的并不是处理的三角形不等式.