费马数Fm的因子k*2^n+1的n-m目前的最大值

nyy

我们知道费马数Fm的因子都是k*2^n+1的形式，其中k是奇数，n是正整数，
并且还能证明n-m>=2，那么n-m最大能有多大呢？
按照目前的计算，这个最大值是12，只是目前已知的最大值
m                         k                   n                           Year                                   Discoverer
2141872                25                2141884                09        Sep        2011                G. Granowski, Reynolds, Penné & Fougeron

n-m=2141884-2141872=12

第二大的是11
943                4785972759        954                        28        Mar        2012                A. Sen & Rodenkirch

954-943=11

下面是统计数据

1. Count of factors according to difference  n − m
   
2. n − m          =          2,          3,          4,          5,           6,          7,          8,          9,          10,          11,          12
   
3. Frequency                183,          88,          47,          14,          10,          5,          6,          3,          3,          1,          1
   

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看不清可以看这个
http://www.fermatsearch.org/factors/composite.php




Prime factors  k*2^n + 1  of larger Fermat numbers  Fm


补充内容 (2023-3-29 09:03):
对于费马数Fm=F943来说，n-m=954-943=11

nyy

1. n-m        个数        百分比        累计百分比
   
2. 2        183        50.69         50.69
   
3. 3        88        24.38         75.07
   
4. 4        47        13.02         88.09
   
5. 5        14        3.88         91.97
   
6. 6        10        2.77         94.74
   
7. 7        5        1.39         96.12
   
8. 8        6        1.66         97.78
   
9. 9        3        0.83         98.61
   
10. 10        3        0.83         99.45
    
11. 11        1        0.28         99.72
    
12. 12        1        0.28         100.00
    
13. 合计        361        100.00
    

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统计个数百分比

nyy

我用mathematica检验了n-m=11的情况，至于12的情况，太大了，我检验不了

1. Clear["Global`*"];(*删除所有变量*)
   
2. {m,n,k}={943,954,4785972759}(*初始赋值*)
   
3. p=k*2^n+1 (*形成素数因子*)
   
4. PrimeQ[p](*测试是否素数*)
   
5. ans=Mod[PowerMod[2,2^m,p]+1,p](*等于零则证明p是Fm的因子*)
   

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输出结果：

1. {943, 954, 4785972759}
   
2. 
   
3. 7287626154134595476749428156543909866851382056430293480935900139934589\
   
4. 2962613797122167150686705142826266934019612966915816415002130649547045\
   
5. 9958193268756568951326462819622740729371759078037368069766626184028331\
   
6. 1547125058375244810282586515497959878192640827948628802652610776808688\
   
7. 85640084356857857
   
8. 
   
9. True
   
10. 
    
11. 0

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