高阶幂零矩阵的搜寻

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我在尝试寻找这样的矩阵\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，使得$k>2$且$A^k=O$，但$A^2\ne O$，

结果我取$k=4$去暴力枚举$a,b,c,d$，发现$a,b,c,d$在$\pm 40$以内无解。

是不是只要存在正整数$k$使得$A^k=O$，就必有$A^2=O$呢？

mathe

是的，n阶幂零矩阵的n次方必然0矩阵。
对于任意一个矩阵A，存在相似变换P使得$P^{-1}AP$矩阵为分块对角阵（若当标准型），
其中每个对角方块主对角线上元素为某个相同的特征值，紧挨主对角线并且在其上方的格子为1，其余都是0，对角方块如下
\(\begin{bmatrix}\lambda&1&0&0&\cdots&0\\0&\lambda&1&0&\cdots&0\\0&0&\lambda&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
0&0&0&0&\cdots&1\\
0&0&0&0&\cdots&\lambda\end{bmatrix}\)
显然如果一个矩阵幂0，那么所有特征值为0，所以这个矩阵的k次方为0，其中k为若当标准型中最大方块的尺寸。

而构造幂零矩阵最简单的方法是先构造一个对角线全部为0的若当标准型J，然后随机产生一个可逆矩阵P,计算$A=PJP^{-1}$即可