尺规作图

aimisiyou

已知三角形ABC，D是BC边上一已知点，P为三角形内一已知点，求过P点做一条线EF交AB于E，交AC于F，满足角EDF=90度。（有解情形下的尺规作图）

mathe

如果我们不查看EF过P点这个限制，而要求过D点做两条相互垂直的直线分别交AB和AC于E,F两点，于是E到F是直线AB到AC上的一个射影变换。所以EF的包络线会是一条圆锥曲线。
于是我们可以先通过尺规作图选择5个不同的EF组合，得到的5个EF组合可以确定唯一一条和它们都相切的圆锥曲线（但是我们无法做出这条圆锥曲线）。然后我们的任务是找到过P点的这条圆锥曲线的切线。
通过布列安桑定理的退化情况（两条相邻切线重叠）可以找到5个切点，也可以转化为找过P点（不在曲线上）的切线（圆锥曲线由5个点确定）。应该已经有已知方法通过尺规作图找出这个圆锥曲线中心，焦点等方案。但是过P点的切线还需要再琢磨一下，但是应该可以做到。

hujunhua

二次曲线的焦点弦的极点（在对应的准线上）到弦的射影正好是焦点。
换言之，在二次曲线的准线上任取一点P作二次曲线的两条切线，两切点T₁和T₂连线过对应的焦点F，并且FP⊥T₁T₂。

hujunhua

研究了一下，D是mathe所述二次曲线的一个焦点，A在相应的准线上，AB和AC是二次曲线的切线，切点在AD的过D的垂线上。因此，题目可以特化一下而不失一般性：让AD┴BC。
取一对实例E，F，可以作出准线上一点，从而确定准线。
有了焦点和准线，以及曲线上的两点，可以用几何软件轻松作出这条二次曲线了。当∠BAC为直角时，二次曲线为抛物线。锐角时为椭圆。

aimisiyou

hujunhua 发表于 2023-4-26 02:15
研究了一下，D是mathe所述二次曲线的一个焦点，A在相应的准线上，AB和AC是二次曲线的切线，切点在AD的过D的 ...

具体怎么尺规作图呢？

hejoseph

aimisiyou 发表于 2023-4-26 09:15
具体怎么尺规作图呢？

圆锥曲线的几何作图法.pdf (205.27 KB, 下载次数: 11)

2023-4-26 16:11 上传

点击文件名下载附件

之前写过这个文档，或许对这个问题有帮助

mathe

如果已经有圆锥曲线，作图比较简单。本题困难点在于圆锥曲线本身没有，只提供了足够多的切线。
在这种情况下，可以
1)找出曲线的中心
2)给出曲线外一点，做出其极线，或给出一条线做出其极点
3）给出曲线外一点和曲线上一点，可以做出两点连线和曲线的另外一个交点。
利用上面这些方案作出目标EF还是有些困难。

当然利用代数方法分析，还是去很容易得出尺规作图方案是存在的。设P点为原点，直线EF斜率为变量k (方程为$y=kx$),  直线AB,AC方程已知（比如$a_1x+b_1y+c_1=0, a_2x+b_2y+c_2=0$)，那么就可以用参数k表示出E,F的坐标
E: $(-c_1/{a_1+kb_1},-{c_1k}/{a_1+kb_1})$等
然后设D坐标为(u,v), 利用ED垂直FD,可以得出两向量内积为0，即
$(-c_1/{a_1+kb_1}-u)(-c_2/{a_2+kb_2}-u)+(-{c_1k}/{a_1+kb_1}-v)(-{c_2k}/{a_2+kb_2}-v)=0$
去分母后是变量k的一个二次方程。所以k是可以通过尺规作图得出的。也就是EF可以通过尺规作图得出

aimisiyou

mathe 发表于 2023-4-26 16:09
如果已经有圆锥曲线，作图比较简单。本题困难点在于圆锥曲线本身没有，只提供了足够多的切线。
在这种情况 ...

你们玩的都是高端局。