关于四面体棱面角和二面角的行列式

lihpb00

四面体A₀A₁A₂A₃的各顶点A_i所对的底面三角形记作S_i，0≤i≤3。
用<A_iA_j,S_i>和<A_iA_j,S_j>表示A_iA_j分别与S_i、S_j所成的棱面角，
用θ_ij表示S_i与S_j所成的二面角，0≤i≤j≤3。

令
a_i=sin<A₀A_i,S₀>，
b_i=cosθ_0i，
c_i=sin<A₀A_i,S_i>，
1≤i≤3。

则\[\begin{vmatrix}
a_1b_1-c_1 & a_1b_2 & a_1b_3\\
a_2b_1&a_2b_2-c_2&a_2b_3\\
a_3b_1&a_3b_2&a_3b_3-c_3
\end{vmatrix}=0\]
这个行列式我构造出来的，但过程很复杂，我想知道有没有简单点的证明方法。

lihpb00

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详细证明过程及推广