用梯度下降法求函数界的最小值

笨笨

设函数\(\small f\left( x，a，b，c，d，e \right) = \text{Hypergeometric2F1}\left[ { - 1/2, - 1/2,1,{x^2}} \right] - \left( {1 + \frac{{3{x^2}}}{{10 + \sqrt {4 - 3{x^2}} }}} \right) - \frac{3}{{{2^{17}}}}{x^{10}}\left( {1 + \frac{{\left( {\frac{{79}}{{48}} + 19.7356722060508967x} \right)x^2}}{{\left( {1 + ax^b\left( {1 - x^c} \right)^d} \right)^e}}} \right)\)
其中，\(a、b、c、d、e \in R\)，\(0 < x < 1\)。求\(M = \mathop {\mathop {\min }\limits_{a,b,c,d,e} }\limits_{0 < x < 1} \;\left\{ {f\left( x \right)} \right\}\)及其此时的各参数a,b,c,d,e值。

给定一组初始值：\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{{ \rm{a = 4}}{\rm{.6}}}\\
{{\rm{b = 0}}{\rm{.457}}}
\end{array}}\\
{{\rm{c = 2}}{\rm{.657}}}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{{\rm{d = 0}}{\rm{.95}}}\\
{{\rm{e = 1}}{\rm{.2}}}
\end{array}}
\end{array}} \right.\)

下面是编程图片：


附编程代码：

1. \[Beta]=0.558
   
2. r=0.144
   
3. \[Eta]=0.675
   
4. f[x_]:=1-r^x
   
5. g[x_]:=1-(1-\[Beta])/f[\[Beta]] f[(x-1)/(\[Beta]-1) \[Beta]]
   
6. p0[x_]:=((1-Floor[x/\[Beta]])\[Beta] f[x]/f[\[Beta]]+Floor[x/\[Beta]]g[x])^\[Eta]
   
7. p[n_]:=p0[n/100]
   
8. H[x_]:=(1/((3/2^17)x^10))(Hypergeometric2F1[-1/2,-1/2,1,x^2]-(1+(3x^2)/(10+\[Sqrt](4-3x^2))))
   
9. W[x_,a_,b_,c_,d_,e_]:=(( 79/48+19.7356722060508967x)  x^2)/(1+a x^b(1-x^c)^d)^e
   
10. U[a_,b_,c_,d_,e_]:=1/2 \!\(
    
11. \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(k = 1\), \(99\)]\(\((1 + W[p[k], a, b, c, d, e] - H[p[k]])\)^2\)\)
    
12. u[a_,b_,c_,d_,e_]:=-\!\(
    
13. \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(k = 1\), \(99\)]\(\((1 + W[p[k], a, b, c, d, e] - H[p[k]])\)
    
14. \*FractionBox[\(e\
    
15. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(b\)]\
    
16. \*SuperscriptBox[\((1 -
    
17. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(c\)])\), \(d\)]\), \(1 + a\
    
18. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(b\)]\
    
19. \*SuperscriptBox[\((1 -
    
20. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(c\)])\), \(d\)]\)] W[p[k], a, b, c, d, e]\)\)
    
21. v[a_,b_,c_,d_,e_]:=-\!\(
    
22. \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(k = 1\), \(99\)]\(\((1 + W[p[k], a, b, c, d, e] - H[p[k]])\)\
    
23. \*FractionBox[\(a\ e\
    
24. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(b\)]\
    
25. \*SuperscriptBox[\((1 -
    
26. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(c\)])\), \(d\)]\ Log[p[k]]\), \(1 + a\
    
27. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(b\)]\
    
28. \*SuperscriptBox[\((1 -
    
29. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(c\)])\), \(d\)]\)] W[p[k], a, b, c, d, e]\)\)
    
30. w[a_,b_,c_,d_,e_]:=\!\(
    
31. \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(k = 1\), \(99\)]\(\((1 + W[p[k], a, b, c, d, e] - H[p[k]])\)\
    
32. \*FractionBox[\(a\ d\ e\
    
33. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(b + c\)]\
    
34. \*SuperscriptBox[\((1 -
    
35. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(c\)])\), \(\(-1\) + d\)]\ Log[p[k]]\), \(1 + a\
    
36. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(b\)]\
    
37. \*SuperscriptBox[\((1 -
    
38. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(c\)])\), \(d\)]\)] W[p[k], a, b, c, d, e]\)\)
    
39. h[a_,b_,c_,d_,e_]:=-\!\(
    
40. \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(k = 1\), \(99\)]\(\((1 + W[p[k], a, b, c, d, e] - H[p[k]])\)
    
41. \*FractionBox[\(a\ e\
    
42. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(b\)]\
    
43. \*SuperscriptBox[\((1 -
    
44. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(c\)])\), \(d\)]\ Log[1 -
    
45. \*SuperscriptBox[\((p[p[k]])\), \(c\)]]\), \(1 + a\
    
46. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(b\)]\
    
47. \*SuperscriptBox[\((1 -
    
48. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(c\)])\), \(d\)]\)] W[p[k], a, b, c, d, e]\)\)
    
49. i[a_,b_,c_,d_,e_]:=-\!\(
    
50. \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(k = 1\), \(99\)]\(\((1 + W[p[k], a, b, c, d, e] - H[p[k]])\) W[p[k], a, b, c, d, e] Log[1 + a\
    
51. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(b\)]\
    
52. \*SuperscriptBox[\((1 -
    
53. \*SuperscriptBox[\((p[k])\), \(c\)])\), \(d\)]]\)\)
    
54. UU[t_]:=U[a-t  u[a,b,c,d,e],b-t  v[a,b,c,d,e],c-t w[a,b,c,d,e],d-t h[a,b,c,d,e],e-t i[a,b,c,d,e]]
    
55. Er[x_,a_,b_,c_,d_,e_]:=Hypergeometric2F1[-1/2,-1/2,1,x^2]-(1+(3x^2)/(10+Sqrt[4-3x^2]))-(3/2^17)x^10 (1+W[x,a,b,c,d,e])
    
56. a=4.6
    
57. b=0.457
    
58. c=2.657
    
59. d=0.95
    
60. e=1.2
    
61. t=0.0001
    
62. U[a,b,c,d,e]>UU[t]
    
63. a=a-t  u[a,b,c,d,e]
    
64. b=b-t  v[a,b,c,d,e]
    
65. c=c-t w[a,b,c,d,e]
    
66. d=d-t h[a,b,c,d,e]
    
67. e=e-t i[a,b,c,d,e]
    
68. Maximize[{Abs[Er[x,a,b,c,d,e]],0<x<1},x]
    

复制代码

笨笨

上面编程的弊端：是手动循环迭代会出现庞大的数据群且无法求出主贴函数界的最小值，因为你不可能遍历整个庞大的数据群！

那么问题来了，我们怎样接着主贴的编程继续进行下去求出函数界的最小值。

笨笨

那么问题来了，我们怎样接着主贴的编程继续进行下去求出函数界的最小值或者其它更好的方法。

笨笨

有老师说：
Mathematica 可以执行 while loop.  这意味着梯度方法自动优化参数的代码可以轻易编出求出误差函数界的最小值。
我不知道 while怎么编才能自动优化梯度参数且得到误差函数界的最小值。