一个极值

数学星空

已知正数,a,b,c,k,且满足a+b+c=k*a*b*c, 求f(a,b,c)=(a-1)*(b-1)*(c-1)的最大值

wayne

有约束条件的三元函数极值。 直接求偏导数，联立解三组方程就是了

wayne

不对啊。 最大值可以取到无穷大的

数学星空

呵,当k=1时,最大值为$6sqrt(3)-10$

wayne

设$g(a,b,c)=(a-1)(b-1)(c-1)-\lambda (a+b+c-k a b c)$ 将g(a,b,c)分别对a,b,c求偏导，令其为0。解此方程有两组解： $a= b=c=\frac{1-\sqrt{(1+k (-1+\lambda )) \lambda }}{1+k \lambda }$ $a=b=c=\frac{1+\sqrt{(1+k (-1+\lambda )) \lambda }}{1+k \lambda }$ 也就是说，如果存在极值，那么极值一定在a=b=c的时候取得。。。。

〇〇

记录学习

mathe

不对，我计算得到是 solve([a+b+c=k*a*b*c,(b-1)*(c-1)+u*(1-k*b*c),(a-1)*(b-1)+u*(1-k*a*b),(a-1)*(c-1)+u*(1 -k*a*c)],[a,b,c,u]);(%o3) [[a=1/k,b=1/k,c=-2/(k-1),u=-(k-1)/k],[a=0,b=0,c=0,u=-1],[a=1,b=1,c=2/(k-1),u=0],[a=-2/(k-1),b=1/k,c=1/k,u=-(k-1)/k],[a=1/k,b=-2/(k-1),c=1/k,u=-(k-1)/k],[a=2/(k-1),b=1,c=1,u=0],[a=1,b=2/(k-1),c=1,u=0]] 所以其中01时还有极值点(1,1,2/(k-1)) 此外还有极值点a=b=c=0

wayne

楼主给的例子很特殊啊， 特殊之一，Mathematica直接解偏导方程组狠吃力，返回的解也是很繁杂的，而Maxima瞬间给出方程的解，而且还是最简洁的。 特殊之二，该式子似乎仅在k=1时，才能求得最大值，其他的k值对应的最大值都为无穷大，若通过求解偏导方程组，则得到的极值点处是取不到最大值的