极坐标下曲线长度的公式推导

gxqcn

比如，已知抛物线的极坐标方程为：\[\rho=\frac{p}{1-\cos\theta}\]
求：当 \(\theta\) 从 \(-\pi\) 到 \(\alpha\)，所对应的弧长公式。  

nyy

笨办法：数值积分！

gxqcn

知道方法了：先转化成参数方程，再积分即可。

将 \begin{cases}
x = \rho\cos\theta=\frac{p\cos\theta}{1-\cos\theta}\\
y = \rho\sin\theta=\frac{p\sin\theta}{1-\cos\theta}
\end{cases}
代入\[s=\int_{-\pi}^{\alpha}{\sqrt{\left(\frac{\dif x}{\dif \theta}\right)^2+\left(\frac{\dif y}{\dif \theta}\right)^2} \dif \theta}\]
即可（最终表达式有点复杂）

还可以更简单点，直接由微弧 \(\dif s=\sqrt{(\dif x)^2+(\dif y)^2}=\sqrt{\rho^2+\rho'^2}\dif\theta\) 积分。

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最终表达式写出来看看