新发现有关四面体的两个含参几何不等式

lihpb00 · 发表于 2023-10-9 00:26:25

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本帖最后由 lihpb00 于 2023-10-9 00:42 编辑

四面体四个面面积为S₁，S₂，S₃，S₄，
S_i和S_j所夹二面角为θ_ij，
各棱长为a_ij，
x₁，x₂，x₃，x₄为任意正实数。
则:
x₁x₂S₁S₂+x₁x₃S₁S₃+x₁x₄S₁S₄+x₂x₃S₂S₃+x₂x₄S₂S₄+x₃x₄S₃S₄
≤（3/2）*[（x₁²+x₂²）S₁S₂cosθ₁₂+（x₁²+x₃²）S₁S₃cosθ₁₃+（x₁²+x₄²）S₁S₄cosθ₁₄+（x₂²+x₃²）S₂S₃cosθ₂₃+（x₂²+x₄²）S₂S₄cosθ₂₄+（x₃²+x₄²）S₃S₄cosθ₃₄],

x₁x₂a₃₄cscθ₁₂+x₁x₃a₂₄cscθ₁₃+x₁x₄a₂₃cscθ₁₄+x₂x₃a₁₄cscθ₂₃+x₂x₄a₁₃cscθ₂₄+x₃x₄a₁₂cscθ₃₄≤
（3/2）*[（x₁²+x₂²）a₃₄cotθ₁₂+（x₁²+x₃²）a₂₄cotθ₁₃+（x₁²+x₄²）a₂₃cotθ₁₄+（x₂²+x₃²）a₁₄cotθ₂₃+（x₂²+x₄²）a₁₃cotθ₂₄+（x₃²+x₄²）a₁₂cotθ₃₄].

等号成立的充要条件为x₁S₁=x₂S₂=x₃S₃=x₄S₄。

lihpb00 · 发表于 2023-10-9 00:43:06

本帖最后由 lihpb00 于 2023-10-9 00:46 编辑

这两个不等式的强度相当于2次对称平均-平方平均不等式，帮忙看看这两个不等式可不可以继续变形甚至加强

lihpb00 · 发表于 2023-11-2 21:54:57

https://bbs.emath.ac.cn/thread-19171-1-1.html

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