一道几何证明题

aimisiyou

D为给定△ABC边BC上一点，△ABD外接圆与边AC交于不同于A的点E，△ACD外接圆与边AB交于不同于A的点F，
证明：D变化时，△AEF外接圆过不同于A的一个定点。

Jack315

另一个定点的示意图：

Jack315

P 为另一个定点，几何关系没找出来……是一道代数题？

Jack315

参考 1# 的图。
如果 AEF 外接圆圆心方程为一直线，则过 A 点作此直线的垂线交 AEF 外接圆的点即为另一定点。
因此只要计算 AEF 外接圆圆心方程的导数，若结果为常数（与 D 点位置无关），则题得证。

给定三角形三个点的坐标为：\(A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC)\) 。
计算 AEF 外接圆圆心方程导数的 Mathematica 代码如下：

1. 
   
2. (*三角形三条边的方程参数*)
   
3. (*AB 边方程参数*)
   
4. solLAB = Solve[{yA == k xA + b, yB == k xB + b}, {k, b}]
   
5. kAB = k /. solLAB[[1]]
   
6. bAB = b /. solLAB[[1]]
   
7. (*BC 边方程参数*)
   
8. solLBC = Solve[{yB == k xB + b, yC == k xC + b}, {k, b}]
   
9. kBC = k /. solLBC[[1]]
   
10. bBC = b /. solLBC[[1]]
    
11. (*CA 边方程参数*)
    
12. solLCA = Solve[{yC == k xC + b, yA == k xA + b}, {k, b}]
    
13. kCA = k /. solLCA[[1]]
    
14. bCA = b /. solLCA[[1]]
    
15. 
    
16. (*D 点坐标*)
    
17. (*令：*)
    
18. xD = xB + (xC - xB) t
    
19. (*则：*)
    
20. yD = kBC xD + bBC
    
21. 
    
22. (*ABD外接圆*)
    
23. solCircleABD = Solve[{(xA - x)^2 + (yA - y)^2 == r2, (xB - x)^2 + (yB - y)^2 == r2, (xD - x)^2 + (yD - y)^2 == r2}, {x, y, r2}]
    
24. x0ABD = x /. solCircleABD[[1]]
    
25. y0ABD = y /. solCircleABD[[1]]
    
26. rABD = Sqrt[r2] /. solCircleABD[[1]]
    
27. 
    
28. (*E点坐标：ABD外接圆与三角形边AC的交点*)
    
29. solPtE = Solve[{y == kCA x + bCA, (x - x0ABD)^2 + (y - y0ABD)^2 == rABD^2}, {x, y}]
    
30. xE = x /. solPtE[[2]]
    
31. yE = y /. solPtE[[2]]
    
32. 
    
33. (*ADC外接圆*)
    
34. solCircleADC = Solve[{(xA - x)^2 + (yA - y)^2 == r2, (xD - x)^2 + (yD - y)^2 == r2, (xC - x)^2 + (yC - y)^2 == r2}, {x, y, r2}]
    
35. x0ADC = x /. solCircleADC[[1]]
    
36. y0ADC = y /. solCircleADC[[1]]
    
37. rADC = Sqrt[r2] /. solCircleADC[[1]]
    
38. 
    
39. (*F点坐标：ADC外接圆与三角形边AB的交点*)
    
40. solPtF = Solve[{y == kAB x + bAB, (x - x0ADC)^2 + (y - y0ADC)^2 == rADC^2}, {x, y}]
    
41. xF = x /. solPtF[[2]]
    
42. yF = y /. solPtF[[2]]
    
43. 
    
44. (*AFE外接圆*)
    
45. solCircleAFE = Solve[{(xA - x)^2 + (yA - y)^2 == r2, (xf - x)^2 + (yf - y)^2 == r2, (xe - x)^2 + (ye - y)^2 == r2}, {x, y, r2}]
    
46. x0AFE = x /. solCircleAFE[[1]] /. {xf -> xF, yf -> yF, xe -> xE, ye -> yE} // Simplify
    
47. y0AFE = y /. solCircleAFE[[1]] /. {xf -> xF, yf -> yF, xe -> xE, ye -> yE} // Simplify
    
48. 
    
49. (*AFE外接圆圆心方程的导数*)
    
50. D[y0AFE, t]/D[x0AFE, t] // Simplify

复制代码

计算结果为：\(-\frac{-2xA+xB+xC}{-2yA+yB+yC}\) ，与 D 点位置参数 \(t\) 无关，题得证。

Jack315

如图所示：

令 \(t=\frac{BD}{BC}\) ，为 D 点的位置参数。

ABDE 为圆 c1 的内接四边形，\(\angle EDC=\angle BAC\)，故 \(\triangle ABC\sim\triangle DEC\) 。
\(\frac{DC}{AC}=\frac{EC}{BC}\Rightarrow \frac{BC-t BC}{AC}=\frac{AC-AE}{BC}\Rightarrow AE=AC-(1-t)\frac{BC^2}{AC}\) 。

同理有  \(\triangle ABC\sim\triangle DBF\) 。
\(\frac{BD}{AB}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow \frac{t BC}{AB}=\frac{AB-AF}{BC}\Rightarrow AF=AB-t \frac{BC^2}{AB}\)

设圆 c3 半径为 r ，G 为 c3 上 \(\angle FAE\) 对应弧上的一点。由正弦定理得：
\(FG=2r\sin\alpha\)、\(EG=2r\sin\beta\) 和 \(EF=2r\sin A\)。

AFGE 为圆 c3 的内接四边形，由托勒密定理得：
\(AG\times EF=FG\times AE+EG\times AF\)
\(AG=\frac{FG\times AE+EG\times AF}{EF}=\frac{2r\sin\alpha\times[AC-(1-t)\frac{BC^2}{AC}]+2r\sin\beta\times[AB-t \frac{BC^2}{AB}]}{2r\sin A}\)
\(=\frac{\sin\alpha\times[AC-(1-t)\frac{BC^2}{AC}]+\sin\beta\times[AB-t \frac{BC^2}{AB}]}{\sin A}\)
当 \(\frac{\sin\alpha}{AC}=\frac{\sin\beta}{AB}\) 时，\(AG=\frac{(AB^2+AC^2-BC^2)\times\sin\alpha}{AC\times\sin A}\)
与 D 点位置参数 t 无关，因而 G 点为定点。

mathe

注意到图中除了直线BC,其余直线和圆都经过A点，所以我们可以以A为反演中心，做反演，得到如下图:

题目变成给定定圆上三个点A,B,C和圆上动点D,
设CD交AB于F,BD交AC于E,那么求证直线EF过定点。
显然根据极线性质，EF是AD和BC交点G的极线，所以EF必然过直线BC的极点H,H就是所求定点。