三角形内动点，夹角已知，求内接三角形面积最大值

hejoseph

已知 $\triangle ABC$ 和三个角度 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，点 $D$、$E$、$F$ 分别在直线 $BC$、$CA$、$AB$ 上， $\triangle ABC$ 内的动点 $P$ 满足 $\angle BDP=\alpha$，$\angle CEP=\beta$，$\angle AFP=\gamma$，求 $\triangle DEF$ 面积的最大值。



解法的半成品：设点 $P$ 对 $\triangle ABC$ 的重心坐标为 $(x,y,z)$，其中 $x+y+z=1$，由于点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 内，则 $x$、$y$、$z$ 都为正数。设 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$，则 $\triangle PCA$ 边 $CA$ 的高为 $\frac{2yS}{b}$，所以
\[
PE=\frac{2yS}{b\sin\beta}，
\]
同理可得
\[
PF=\frac{2zS}{c\sin\gamma}，
\]
容易计算得
\[
\angle EPF=180^\circ-(A-\beta+\gamma)，
\]
所以
\[
S_{\triangle PEF}=\frac{1}{2}\cdot PE\cdot PF\cdot \sin\angle EPF=\frac{2S^2\sin(A-\beta+\gamma)}{bc\sin\beta\sin\gamma}yz，
\]
同理得
\[
S_{\triangle PFD}=\frac{2S^2\sin(B-\gamma+\alpha)}{ca\sin\gamma\sin\alpha}zx，S_{\triangle PDE}=\frac{2S^2\sin(C-\alpha+\beta)}{ab\sin\alpha\sin\beta}xy，
\]
所以
\[
S_{\triangle DEF}=2S^2\left(\frac{\sin(A-\beta+\gamma)}{bc\sin\beta\sin\gamma}yz+\frac{\sin(B-\gamma+\alpha)}{ca\sin\gamma\sin\alpha}zx+\frac{\sin(C-\alpha+\beta)}{ab\sin\alpha\sin\beta}xy\right)，
\]
问题就变为 $p$、$q$、$r$ 为常数，在 $x>0$，$y>0$，$z>0$，$x+y+z=1$ 时求 $pyz+qzx+rxy$ 的最大值。

把 $z=1-x-y$ 代入 $pyz+qzx+rxy$ 配方得
\[
pyz+qzx+rxy=\frac{pqr}{k}-q\left(x+\frac{p+q-r}{2q}y-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{k}{4q}\left(y-\frac{q(p+r-q)}{k}\right)^2，
\]
这里 $k=2pq+2pr+2qr-p^2-q^2-r^2$。如果$p$、$q$、$r$、$k$ 都是正数，结论很好看，最大值为$\frac{pqr}{k}$，在
\[
x=\frac{p(q+r-p)}{k}，y=\frac{q(p+r-q)}{k}，z=\frac{r(p+q-r)}{k}，
\]
时取得等号。其余情况不太好分类，结论可能也不简洁。

mathe

这个几何题目有点诡异。不过转会为求极值问题后用数学分析方法并不难。
也就是我们已知$0\le x\le 1, 0\le y\le 1, 0\le z \le 1, x+y+z=1$ 求$pyz+qzx+rxy$的最大值。
使用拉格朗日极值法可以知道取极值时必然有
$qz+ry = pz+rx=py+qx$, 正好是楼主上面找到的极值条件。
而如果这个极值点不是最值，那么最值必然只能在边界条件上取到，也就是x=0或y=0或z=0时。
以z=0为例，那么这是变成给定$0\le x\le 1, 0\le y\le 1, x+y=1$ 求$rxy$的最大值。显然$r<0$时在y=0或x=0时取到最大值0（这种情况不符合几何意义，可以忽略）,不然在$x=y=\frac 1 2$时取到最大值$\frac r 4$， 对应P在AB中点.
所以我们只需要比较最多四种情况，选择值最大的情况即可。也就是计算$qz+ry = pz+rx=py+qx$时的面积和$\frac r 4, \frac q 4, \frac p 4$中最大者即可。

而比较有意思的是$k\ge0$时，
$\frac{pqr}k \ge \frac r 4$等价于$4pq \ge k$ 即$p^2+q^2+r^2+2pq-2pr-2qr\ge0$即$(p+q-r)^2\ge 0$,这总是成立的。也就是证明了最大值总是在楼主找到的极值条件取到。
而$k\lt 0$时，则相反，最大值总是不在楼主的极值条件取到

hejoseph

确实如上面所说，但也并不是想象中那么简单，如果是这种情形，用最上面的计算得到是负数，还需要修补。

点 $P$ 为 $\triangle ABC$ 某一顶点时 $\triangle DEF$ 面积为 $0$，条件改为 $0\leq x\leq 1$，$0\leq y\leq 1$，$0\leq z\leq 1$，$x+y+z=1$，因此只要求得 $pyz+qxz+rxy$ 的范围，假定为 $[u,v]$，那么 $\triangle DEF$ 的能取到的范围即 $[0,\max\{|u|,v\}]$。